链环的环绕数

一个分支穿过另一个分支所张开的有向曲面，每次穿过都贡献一个正或负次数。环绕数把这些贡献相加，测量两者互相绕行的代数总量。相反方向的穿过可以抵消，所以它不会记录全部缠绕细节。

因子 $1/2$ 不是任选的归一化。也可以只统计 $K_1$ 在上方的混合交叉符号，所得已经等于 $\mathrm{lk}$；统计 $K_2$ 在上方得到同一整数。两者相加才是全部混合交叉的符号和，因此总和必为偶数。两种统计相等来自平面上两个闭合有向曲线的代数交数为零：交换哪条在上方时，投影交数符号与链环交叉符号恰好一正一负。

Hopf 链环与两个分开的圆 ​

把两股同向的辫 ${\sigma }_1^2$ 的顶部、底部按位置闭合。因为端点置换是恒等，它有两个分支；两个交叉都是混合正交叉。因此

两个相互分开的平面圆没有混合交叉，环绕数为 $0$。不变量值不同，故 Hopf 链环不能在保持两分支互不穿过的条件下解开。

若只反转左图中 $K_1$ 的方向，两项都变为 $-1$，环绕数成为 $-1$；若两个分支方向一起反转，两个切向量同时取负，行列式不变，仍为 $1$。交换分支的名称不会改变数值，因此 $\mathrm{lk}(K_1,K_2)=\mathrm{lk}(K_2,K_1)$。

检查局部变换的不变性 ​

I 型只产生同一分支的自交叉，对定义的和没有贡献。II 型若涉及同一分支，也无贡献；若涉及不同分支，则新增两个符号相反的混合交叉，总和为零。III 型保留相关交叉的符号和所属分支，所以仍不变。Reidemeister 定理公理库Reidemeister 变换Reidemeister moves · Reidemeister theorem三类局部图变换恰好生成 tame 结的环境同痕，说明交叉数和 writhe 的变化以及不变量应如何逐类验证。于是把这三项局部检查提升为链环型不变量。

若直接改变一个混合交叉，把 $+1$ 改成 $-1$，总和减少 $2$，环绕数减少 $1$。因此 crossing change 不是允许的链环同痕。相反，改变一个自交叉不会改变两个分支间的环绕数，虽然可能改变其中一个分支的结型。

零环绕数并不等于可以分开 ​

若两个分支分别位于两个不相交的三维球内，则可以选择没有混合交叉的图，所以环绕数为零。逆命题不成立：Whitehead 链环的带符号混合穿越相互抵消，环绕数为零，但它不是可分链环。环绕数只记录代数总和，不能把抵消的几何位置重新还原。

即使某个分支自身是三叶结，只要它与另一个分支分居两个球内，环绕数仍为零。因此该整数既不是“总复杂度”，也不是某个分支自身是否打结的检测器。

选一个以 $K_1$ 为边界的有向 Seifert 曲面公理库Seifert 曲面Seifert surface把有向结构造成可定向曲面的边界，逐步执行 Seifert 平滑与带粘接，并通过圆盘数、带数算亏格。 $F$，使 $K_2$ 与之横截，则

右边为带符号交点数。将 $K_2$ 看成补空间的一维同调类，也可把环绕数理解为 $H_1(S^3\setminus K_1;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$ 中的整数坐标。不同描述适合不同计算：图适合逐交叉求和，曲面适合处理推离环路。

后一用途是 Seifert 矩阵公理库Alexander 多项式与 Seifert 矩阵Alexander polynomial · Seifert matrix由 Seifert 曲面上的推离环绕数构造矩阵，解释行列式的不变量来源，并完成三叶结多项式与亏格下界计算。的核心。把曲面上的一条环路稍微推离曲面，就与另一条环路互不相交；它们的环绕数成为矩阵条目。这个构造需要先明确方向和推离侧，不能只数无符号的交叉。