结与链环

结不是一张平面上的交叉图，而是一根首尾接好的空间绳圈的缠绕方式。图把高度压掉，再以缺口把局部高度次序补回来。同一个结可以画出许多交叉数不同的图；在空处加一个小扭圈就会多出一个交叉，却没有改变结型。

“圆的像”本身只说明它内在像圆。所有结作为一维流形都与 $S^1$ 同胚；差别在于这个圆怎样坐落在三维环境中。判断结型，必须研究嵌入和补空间，而不能只看绳圈自身的拓扑。

一个确实没有自交的三叶结参数化 ​

取 $0\le t<2\pi$，定义

它位于一个绕 $z$ 轴的环面上：沿环面的中心圈走两周，同时沿管子截面走三周。这是 $(2,3)$ 环面结，也就是三叶结的一种参数化。

验证嵌入不能只靠图看起来没断。因为 $2+\cos 3t>0$，前两坐标确定绕轴角 $2t$ 模 $2\pi$，其半径与第三坐标一起确定角 $3t$ 模 $2\pi$。若 $K(t)=K(s)$，便有

由于 $2,3$ 互素，必有 $t-s\in 2\pi \mathbb{Z}$，所以在圆参数上单射。绕轴角的导数为 $2$，且半径始终正，切向速度不为零；紧源到 Hausdorff 空间的连续单射又是到其像的同胚。因此这确实是光滑嵌入。

若投影到 $xy$ 平面，$t$ 与 $t+\pi$ 具有相同绕轴角。两个半径相等恰好发生在 $\cos 3t=0$，于是有三个二重点。对应的 $z$ 坐标为 $1$ 与 $-1$，清楚指定谁从上方经过。这把三维公式转换为后面实际使用的三交叉图。

分支数与交叉数回答不同问题 ​

两个互相远离的圆构成二分支平凡链环；Hopf 链环也是两个分支，但两圈互相套住。三叶结只有一个分支，即使图中用了三种弧颜色，也不会因此成为三分支链环。分支数由连续追踪绳圈决定，不是由颜色、交叉或平面区域数决定。

一个交叉处交换过、欠信息称为 crossing change。它通常改变结型，不能视为允许的环境同痕。三叶结的标准三交叉图改变一个交叉后可以解成平凡结；要证明改变前不是平凡结，则需要三色染色、补空间群或多项式等不变量，而不只是诉诸视觉印象。

Reidemeister 定理公理库Reidemeister 变换Reidemeister moves · Reidemeister theorem三类局部图变换恰好生成 tame 结的环境同痕，说明交叉数和 writhe 的变化以及不变量应如何逐类验证。把环境同痕转成三类局部图变换，为图上计算提供验证标准。Wirtinger 呈示公理库Wirtinger 结群表示Wirtinger presentation · Knot group用图的弧作为子午线生成元、交叉作为共轭关系，完整化简三叶结群并构造到 S₃ 的满同态。从过、欠关系读出补空间基本群，Fox 染色公理库Fox 染色不变量Fox coloring · Fox n-coloring交叉同余 2b=a+c 在 Reidemeister 变换下给出染色双射；完整计算三叶结模 3 的九种染色，并说明线性代数算法。则把部分关系压成有限同余方程。

一个结不变量是对环境同痕等价的图取相同值的规则。两个值不同，就能推出结不等价；值相同通常只表示这个规则没有区分它们。后面的 Alexander 与 Jones 多项式都必须按这个单向逻辑使用。