Wirtinger 结群表示

子午线表示“绕一段绳子一圈”。沿欠弧把这条小回路从交叉一侧移到另一侧时，必须绕过上面的绳子，接到基点的路径因此多出一次往返。群中“先绕过去，做原回路，再绕回来”正是共轭，所以交叉关系不是简单的 $b=c$。

证明可把补空间分成图上方的部分以及各交叉附近的局部块。上方部分的子午线生成一个自由群；加入交叉块时，用 Seifert–van Kampen 定理公理库Seifert–van Kampen 定理Seifert–van Kampen theorem把空间开覆盖的基本群通过推送结构组合为整体基本群。加入对应共轭关系。这个空间分解解释了为什么每个交叉需要一条关系，也说明呈示来自补空间，而不是任意给图贴标签。

三叶结的三个关系 ​

使用下面同一张三交叉图。沿参数方向追踪：过弧 $a$ 的交叉把欠弧 $b$ 接到 $c$；过弧 $b$ 把 $c$ 接到 $a$；过弧 $c$ 把 $a$ 接到 $b$。于是

由第一条消去 $c$，第二条变成

第三条在此关系下自动成立，因为

所以简化呈示为

这里每一步都是消去已定义的生成元或冗余关系，没有假设 $a,b$ 可交换。

用一个有限商证明它非交换 ​

令 $a\mapsto (12)$、$b\mapsto (23)$。置换复合采用先右后左约定，则

所以关系成立，呈示的泛性质给出同态 $G_K\to S_3$。两相邻换位生成 $S_3$，故同态满射；而 $S_3$ 非交换，所以 $G_K$ 也非交换。

平凡结的外部是实心环面，形变收缩到一个圆，因此群为 $\mathbb{Z}$，是交换群。两结群不同，便证明三叶结不是平凡结。这次判断不依赖“看起来打了结”。

若再把三叶结群交换化，关系 $aba=bab$ 只剩 $2a+b=a+2b$，即 $a=b$，得到 $\mathbb{Z}$。所以一阶同调在这个例子里无法区别平凡结与三叶结；保留非交换结构确实增加了信息。

输入一张有 $c$ 个交叉、邻接与过欠数据已给出的结图，逐弧编号并写交叉关系需要 $O(c+1)$ 次符号操作，输出呈示大小也是 $O(c+1)$。常数项覆盖无交叉平凡结：它仍有一条弧和一个生成元。这只是构造呈示的复杂度，不意味着比较两个所得群或求解任意词都只需线性时间。不能把“很快写下答案的描述”与“很快判定描述的全部性质”混为一谈。

Fox 染色公理库Fox 染色不变量Fox coloring · Fox n-coloring交叉同余 2b=a+c 在 Reidemeister 变换下给出染色双射；完整计算三叶结模 3 的九种染色，并说明线性代数算法。可视为把子午线送到二面体群中的反射，再把共轭关系写成线性同余。若继续研究结的完整拓扑，还应保留周边数据，例如子午线、经线在群中的共轭类；裸的抽象群不能直接当作已经记录了所有定向与周边信息。