Fox 染色不变量

交叉处的过弧颜色是两个欠弧颜色的“模意义下中点”。读到颜色 $a$ 的欠弧从颜色 $b$ 的上弧下方穿过后，出口颜色被唯一确定为 $2b-a$。整个图因此像一套传播规则：少量起始颜色决定很多其他颜色，闭合时必须满足一致性。

模 $3$ 时，若交叉处有两种颜色相同，第三种也被迫相同；否则三种颜色必须各出现一次。这给出常见的三色染色画法。但模 $n$ 的代数规则比“三条线都不同”更一般，不能把三色情形的视觉口号当成定义。

三种局部变换为何保留染色 ​

写 $a\ast b=2b-a$，表示欠弧颜色 $a$ 穿过颜色 $b$ 的弧后变为 $a\ast b$。三个恒等式分别对应三类局部移动：

第一式说明小扭圈的新弧只能继承原颜色；第二式说明从同一过弧下面来回穿两次恢复原色。第三式两边均等于 $a-2b+2c$，保证三股滑移两侧传播到出口的颜色相同。这些计算对任意模数有效，而且出口唯一，所以得到的是变换前后染色的双射。

三叶结恰有九种三色染色 ​

把三叶结的三条弧记作 $a,b,c$。三个交叉分别给出

因为 $2=-1$，三式都化成同一条 $a+b+c=0$。任取 $a,b\in {\mathbb{F}}_3$，就唯一得到 $c=-a-b$，故有 $3^2=9$ 种染色。

当 $a=b$ 时，$c=-2a=a$，得到三种常值染色。当 $a\ne b$ 时，$c$ 既不等于 $a$ 也不等于 $b$，所以 $a,b,c$ 是 $0,1,2$ 的某个排列，共 $3\cdot 2=6$ 种。图中的三种弧色就是其中一种。

平凡结的无交叉图只有一条弧，所以只有三种常值染色。染色数 $9\ne 3$ 再次证明三叶结与平凡结不同。

素数模数下的计算算法 ​

对有 $m$ 条弧、$c$ 个交叉的图，构造 $c\times m$ 矩阵 $A$：每行在过弧列放 $2$，两条欠弧列各放 $-1$；若同一弧在交叉中出现多次，应把系数相加。解

即可得到模素数 $p$ 的染色。行变换保留解空间，精确域上的行化简公理库行化简Row reduction用初等行变换把矩阵化为阶梯形以求解线性方程组和判定秩。算出秩 $r$ 后，染色数为 $p^{m-r}$。

朴素消元使用 $O(cmmin(c,m))$ 次域运算；对单个结，$m=max\{c,1\}$，可统一写成 $O((c+1{)}^3)$ 的上界；一般链环还需计入没有交叉的分支，不能只由 $c$ 控制 $m$。这是域运算计数，若把 $p$ 的位长也计入，还须计算模加法、乘法和求逆的成本。

合数模数下，非零系数未必可逆，不能照搬域上的除法。例如模 $6$ 的 $2x=0$ 有两个解 $x=0,3$。可改用整数 Smith 正规形公理库PID 上的 Smith 正规形Smith normal form over a PID · Smith normal formPID 上的矩阵可经可逆行列变换化为满足整除链的对角形，且对角因子在相伴意义下唯一。：在整数上，可用扩展 Euclid 实现该页的 Bézout 行列操作，得到整数可逆的 $U,V$ 与对角形 $UAV=D$。$U,V$ 模 $n$ 后仍可逆，所以未知量换基与方程换基都保留解数；一个非零对角元 $d_j$ 对应的方程 $d_j{y}_j=0$ 恰有 $gcd(n,d_j)$ 个解。因此若非零对角元为 $d_1,\dots ,d_r$，模 $n$ 解数为

这不是说每个 $n$ 都产生新结分类；许多不同结仍有相同染色数。

染色不变量把非交换的 Wirtinger 关系公理库Wirtinger 结群表示Wirtinger presentation · Knot group用图的弧作为子午线生成元、交叉作为共轭关系，完整化简三叶结群并构造到 S₃ 的满同态。映入一个易计算的有限模型。为覆盖所有 $n\ge 2$，使用抽象二面体群

并将颜色 $b$ 对应到反射 $r^{b}s$。这 $n$ 个反射互不相同，而且

正好给出欠弧颜色从 $a$ 变成 $2b-a$ 的规则。若改用点集上的仿射反射 $x\mapsto 2b-x$，偶数 $n$ 时不同 $b$ 可能给同一映射，所以不能用那个不忠实模型代替这里对所有模数都有效的反射标记。

非常值模 $p$ 染色是区分结的一种证据，缺少这种染色却不能证明结平凡。比如三叶结在模 $2$ 时，交叉关系只说两个欠弧同色，沿整个结传播后只能常值；换成模 $3$ 才检测到它的非平凡性。因此模数也是这次检验的组成部分。