Reidemeister 变换

画图时，空间绳圈始终不相交，但投影到平面的影子可以出现临界瞬间。一个小弯在投影中翻过来，产生 I 型；两条影子相切后分开，产生或消去一对交叉，得到 II 型；三个影子短暂经过同一点，前后对应 III 型。三种变化记录的是投影的变化，不是绳圈实际穿透。

定理的困难方向是“任何空间变形都能拆成这三类”。证明把一段环境同痕稍作一般位置扰动，使绝大多数时刻投影都正常，只有有限多个孤立临界时刻。分析允许的简单奇性后，恰好留下上述三种模型。反方向则为每个模型画出三维中的小范围移动，不需要改变其余绳圈。

两个交叉为什么未必能抵消 ​

在两股同向的辫图中，记 ${\sigma }_1$ 为左股从右股上方穿过，${\sigma }_1^{-1}$ 为相反交叉。相邻的 ${\sigma }_1{\sigma }_1^{-1}$ 可以用 II 型消去；${\sigma }_1^2$ 则不满足同一股在两处都位于上方的条件。把后者也擦掉，会把 Hopf 链环错误地变成两条分开的圆。

III 型的一个标准模型为

跟踪三条实体股时，最上层股始终在另外两股之上，中间股始终在最低股之上。只看交叉的平面位置，不追踪哪一股经过哪一股，会把合法 III 型与改变交叉混淆。

检查 writhe 为什么不是结不变量 ​

给图的每个分支定向，并对交叉赋符号 $\epsilon (c)=\pm 1$。本文采用两股均向下时，左上到右下的股在上方的交叉为正；等价地，在朝向观察者的平面正向下，取有序切向量“欠股、过股”的行列式符号。定义

一次 I 型产生一个正或负交叉，所以 $w$ 改变 $\pm 1$。II 型产生的两项符号相反，和为零；III 型逐个保留三处交叉的符号，故不改总和。

因此，若平凡结图 $D_0$ 没有交叉，而 $D_1$ 是加一个正扭圈的图，则它们表示相同的结，但

图的交叉总数 $c(D)$ 与 writhe 都不直接是结不变量。最小交叉数 $\underset{D}{min}c(D)$ 才依赖结型，但从某一张图读到的交叉数通常只是上界。

III 型不能随意省去 ​

I、II 型主要改变图的交叉数量；III 型在不改数量的情况下重排交叉。验证一个图上公式时，即使确认它能消去扭圈和双交叉，也仍须检验 III 型。相反，只对 II、III 型不变的量称为 regular isotopy 不变量，尚未成为环境同痕不变量。Kauffman bracket 正好属于这种情形，需要额外用 writhe 修正 I 型。

构造图不变量时，可遵循一个明确的检查过程：先规定平面同痕下不变的计算规则，再分别建立每类局部变换前后的值相同。若对象是染色集合，最好给出局部染色的双射，而不仅比较几个图的数量。Fox 染色公理库Fox 染色不变量Fox coloring · Fox n-coloring交叉同余 2b=a+c 在 Reidemeister 变换下给出染色双射；完整计算三叶结模 3 的九种染色，并说明线性代数算法。用三个代数恒等式完成这个检查；Jones 多项式公理库Jones 多项式与 Kauffman 括号Jones polynomial · Kauffman bracket把两个平滑的状态和归一化为 Jones 多项式，逐项核验扭圈校正并完整求出三叶结的八状态和。则用状态展开与扭圈归一化完成它。

定理保证等价图之间存在有限序列，却没有单凭陈述给出搜索所需的交叉上界。反复寻找“能减少交叉的步骤”并不构成完整判定算法，因为化简过程可能需要先增加交叉。若要声称算法必然终止，还需额外的有限搜索界或其他判定理论。