离散梯度保能量方法

普通梯度只描述一点附近的线性变化；离散梯度要求从旧点到新点的整个能量差被一次内积准确表示。反对称矩阵使运动方向与这个离散梯度正交，于是新点被限制在同一能量水平集上。

这项构造针对能量。它通常不同时满足一般辛映射的 Jacobian 恒等式，也未自动规定高阶精度。在足够光滑、选定可解的局部步映射并有稳定误差传播时，对称一致的选择可给二阶方法，非对称选择可能只有一阶；仅有前面的连续两点恒等式不自动给出这些阶数。

四次势能的完整一步 ​

取 $H(q,p)=p^2/2+q^4/4$。分量离散梯度可取

它使用 $Q^4-q^4=(Q-q)(Q^3+Q^{2}q+Q{q}^2+q^3)$，所以端点重合时也有连续定义。

从 $(q,p)=(1,0)$ 取 $h=1$，更新方程为 $Q-1=P/2$ 与 $P=-(Q^3+Q^2+Q+1)/4$。消去 $P$ 得到

其导数 $3Q^2+2Q+9$ 恒正，故实根唯一。求得 $Q\approx 0.6887624213$、$P\approx -0.6224751573$，代入能量得到 $P^2/2+Q^4/4\approx 0.25$，与初值一致。

这个例子也能直接检查不保辛。把势能的离散导数记为 $g(q,Q)=(Q^3+Q^{2}q+Q{q}^2+q^3)/4$；对两条更新方程隐式求导，可得

本步 $q=h=1$ 且 $0<Q<1$，分母为正，所以行列式严格大于一，面积并未保持。反过来，同样初值和步长下的辛 Euler公理库辛 Euler 方法Symplectic Euler method以更新后的动量推动位置，构造一阶辛方法，并在谐振子上精确计算稳定区和离散不变量。给出 $(Q,P)=(0,-1)$，保辛却把原能量从 $1/4$ 变成 $1/2$。两种方法分别保留的结构在同一个非二次例子中清楚不同。

换成中点梯度会发生什么 ​

对四次势能，普通中点梯度的 $q$ 分量是 $((Q+q)/2{)}^3$，一般不等于上述差商。例如 $q=1,Q=0$，前者为 $1/8$，后者为 $1/4$。因此把普通中点梯度直接当离散梯度，会破坏两点能量恒等式；二次 Hamiltonian 才有相应特殊相等性。

每步需解隐式方程。实际成本由维数、离散梯度求值和非线性迭代次数决定；在每轮检查方程残差，并在接受一步后检查能量差。若把残差明确定义为 $r=(z_{n+1}-z_n)/h-J\bar{\mathrm{\nabla }}H$，则能量缺陷恰为 $h\bar{\mathrm{\nabla }}{H}^{\mathsf{T}}r$；若采用未除以 $h$ 的残差，公式中的因子也要相应改变。这样才能设置有量纲的容差。

保能量并不固定沿能量曲线的运动速度。可同时比较轨迹相位、其他不变量和长期统计行为，选择最符合问题目的的结构保持方式。