形式陈述

半群是二元组 $(S,\ast)$$(S,\ast )$，其中 $S$$S$ 是非空集合，$\ast:S\times S\to S$$\ast :S\times S\to S$ 是满足结合律的二元运算：

$$ (a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c) $$$$(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$$

对所有 $a,b,c\in S$$a,b,c\in S$ 成立。半群不要求存在单位元、逆元或交换律。

直觉

半群刻画“可以连续组合，而且组合次序中的括号不重要”的对象。结合律保证 $a_1\ast\cdots\ast a_n$$a_1\ast \cdots \ast a_n$ 无须指定括号，但不会允许任意交换元素次序。

例子与边界

正整数在加法下构成半群，却没有加法单位元；非空字符串在连接运算下也构成半群。整数减法不满足结合律，因为 $(5-3)-1\ne5-(3-1)$$(5-3)-1\ne 5-(3-1)$。一个封闭运算即使满足交换律，也未必满足结合律。

推论与应用

加入双侧单位元得到幺半群，再要求每个元素可逆得到群。半群还用于描述自动机的状态变换、程序操作的顺序合成和代数化的字符串处理。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004, §1.1.
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011, §2.1.