Aalen 加性风险模型

形式陈述 ​

沿用计数过程表示公理库生存分析的计数过程模型Multiplicative intensity model用风险指示、计数过程和补偿量把延迟进入与右删失纳入同一事件强度模型。，令 $z_i(t)$ 包含截距项。模型为

$${\lambda }_i(t)=z_i(t{)}^{\mathsf{T}}\alpha (t),B(t)={\int }_0^t\alpha (u)du.$$

所有实际涉及的协变量取值上，$z_i(t{)}^{\mathsf{T}}\alpha (t)$ 都必须非负。系数可以正或负，但组合后的事件强度不可以为负。

令设计矩阵公理库矩阵Matrix以有限行列集合为索引、取值于半环，并以中间指标求和定义乘法的函数。 $X(t)$ 的第 $i$ 行为 $Y_i(t)z_i(t{)}^{\mathsf{T}}$。观察模型写成

$$dN(t)=X(t)dB(t)+dM(t).$$

若 $X(t{)}^{\mathsf{T}}X(t)$ 可逆，一个累积系数估计是

$$\hat{B}(t)={\int }_0^t[X(u{)}^{\mathsf{T}}X(u){]}^{-1}X(u{)}^{\mathsf{T}}dN(u).$$

积分只在事件时刻跳跃。风险集不满秩的时段，需要限制报告区间或明确采用广义逆及其可识别子空间，不能把没有资料支撑的系数当成已估计。

为什么会出现最小二乘 ​

在每个事件时刻，对事件增量向量 $dN$ 用风险集矩阵 $X$ 作最小二乘公理库最小二乘与正规方程Least squares · Normal equations将目标向量正交投影到矩阵列空间，并以残差正交条件导出正规方程。，正规方程给出上述系数增量。它不是假设每个 $d{N}_i$ 具有同方差 Gaussian 误差；二次准则给出估计方程，方差仍须根据计数过程的事件变异计算。

若 ${\alpha }_1(t)$ 恒定，$B_1(t)$ 是过原点的直线。若作用只在前期存在，累积曲线前期有斜率，后期趋于水平。曲线本身表示累计风险差贡献，它的斜率才对应瞬时系数，两个量的单位不同。

一个风险集的完整计算 ​

某时刻风险集中四人，二元协变量分别是 $0,0,1,1$，均含截距。则

$$X^{\mathsf{T}}X=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 2\end{array}\right),(X^{\mathsf{T}}X{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1/2& -1/2\\ -1/2& 1\end{array}\right).$$

如果事件来自 $z=1$ 的人，$X^{\mathsf{T}}dN=(1,1{)}^{\mathsf{T}}$，所以 $d\hat{B}=(0,1/2{)}^{\mathsf{T}}$。基线组风险增量为零，暴露组比它多 $1/2$。

如果事件改来自 $z=0$ 的人，则 $X^{\mathsf{T}}dN=(1,0{)}^{\mathsf{T}}$，得到 $d\hat{B}=(1/2,-1/2{)}^{\mathsf{T}}$。负的协变量系数增量有明确意义：这次增量出现在基线组，另一组的估计增量 $d{\hat{B}}_0+d{\hat{B}}_1$ 仍是零。不能因为回归系数为负就断言风险率为负。

计算多次事件时，每次先更新风险集矩阵，再计算并累加增量。若共有 $m$ 个事件、每个风险集最多 $n$ 人、$p$ 个系数，直接重建法约需 $O(m(n{p}^2+p^3))$；实践可利用进入与退出更新交叉乘积矩阵。每一步都应检查秩和数值条件性。

直觉

若一个因素增加的是每单位时间的绝对风险，而这个增量又随时间改变，应该怎样估计？Aalen 模型把风险率写成时间变化系数的线性组合，估计的基本对象是累积系数曲线。

例子与边界

边界与反例 ​

模型的线性形式不会自动保证预测非负。例如拟合得到某段 ${\hat{\alpha }}_0=0.1$、${\hat{\alpha }}_1=-0.08$，对资料中 $z\in \{0,1\}$ 尚可，但外推到 $z=2$ 就产生 $-0.06$ 的风险率。限制协变量范围、约束估计或改用其他模型需要另行说明。

极少事件却有许多协变量时，累积系数曲线会很不稳定。平滑它可以帮助展示，不能创造风险集中本来没有的可识别信息。个体重复事件还需处理对象内相关，不能将每次事件误认成独立样本。

推论与应用

Cox 的固定系数给出风险比，Aalen 的时间变化系数给出加性风险差。比较两者时，先问研究关心相对变化还是绝对变化，并检查共同的删失条件。Aalen 允许系数随时间变化，也仍然依赖所指定的协变量加性结构。

参考资料

• Odd O. Aalen, A linear regression model for the analysis of life times, Statistics in Medicine 8, 1989, pp. 907–925，非参数加性风险回归。
• Aalen, Borgan and Gjessing, Survival and Event History Analysis: A Process Point of View, Springer, 2008, Chapter 4，加性模型、累积回归函数及估计机制。