生存分析的计数过程模型

随访表里有进入时间、事件和失访，怎样把它们放进同一个概率模型，又不把“尚未被观察”误当成“没有发生事件”？计数过程的做法是把两件事分开记录：已经看到多少次事件，以及此刻谁有资格贡献一次事件。

逐步例子 ​

考虑四台设备，以安装后的时间为共同尺度：A 在 $0$ 进入，$2$ 故障；B 在 $0$ 进入，$3$ 删失；C 在 $1$ 进入，$4$ 故障；D 在 $3$ 进入，$5$ 删失。则 $R(2)=\{A,B,C\}$，$R(4)=\{C,D\}$。D 在时间 $2$ 还没进入，不能帮助分摊 A 的故障风险。

若四台设备在观察期间都有常数风险 $\lambda =0.2$，则至时间 $4$，A、B、C、D 的暴露时长分别是 $2,3,3,1$。总补偿量为 $0.2(2+3+3+1)=1.8$，总事件数为 $2$，所以总鞅残差在这条实际样本路径上的值是 $0.2$。鞅的条件均值增量为零，不要求每条路径的残差都为零。

相同表示还能解释Nelson–Aalen 估计公理库生存分析基础Survival analysis · Kaplan–Meier estimator对事件时间、删失、survival 与 hazard 建模并估计生存曲线的基础框架。。若所有在险者共享风险率，$d{N}_{\cdot }/Y_{\cdot }$ 的条件均值近似为 $\lambda dt$。本例两个事件贡献 $1/3$ 和 $1/2$。这里的重点是分母为何正确，而非重新定义乘积极限估计。

边界与检查 ​

假设检查时能提前知道一台设备即将故障，并因此把它移出观察。此时删失开关携带未纳入模型的故障信息，仍在险设备的风险不再代表原总体。写出 $Y_i$ 能准确描述资料，却不能自动恢复独立删失。

时间变化协变量只能使用事件前已知值。例如用“以后是否接受维修”给整段历史分组，会把未来信息放进现在的强度。把记录拆成多行也没有增加独立个体数；重复事件或同一对象的多段资料，推断时必须保留对象内依赖。

这一语言把风险集的构造与回归形式分开。Cox 模型公理库Cox 比例风险模型与部分似然Cox proportional hazards model · Cox partial likelihood通过事件时刻的风险集比较消去未知基线风险，推导 Cox 部分似然、得分和解释边界。对 ${\lambda }_i$ 使用乘性协变量效应，Aalen 模型公理库Aalen 加性风险模型Aalen additive hazards model用风险集中的线性估计方程累加时间变化的风险差系数，并检查秩与非负风险边界。使用加性效应。更换回归形式之前，应先检查观察窗口、事件编码和时间尺度；这些错误会同时污染两种模型。