Cox 比例风险模型与部分似然

形式陈述

在事件时间模型中，设协变量 $z_i(t)$ 在事件前已知，条件风险率为

\lambda_i(t)=\lambda_0(t)\exp\{\beta^{\mathsf T}z_i(t)\}.

$\lambda_0$ 是未指定形状的非负基线风险， $\beta$ 是有限维参数。对于固定协变量 $z_a,z_b$ ，风险比为 $\exp\{\beta^{\mathsf T}(z_a-z_b)\}$ ，不随时间改变。若协变量本身变动，瞬时风险比可以随其差值变动；“比例”约束的是系数，而非要求两条任意协变量轨迹永远保持相同比值。

先假设连续事件时间、没有并列事件，且删失在给定模型历史后不改变事件强度。设 $t_j$ 的唯一事件来自 $i_j$ 。条件于事件前历史，并令一个短区间内恰有一次事件，在总事件强度为正时，其来源为 $i_j$ 的极限概率是

\frac{\lambda_0(t_j)e^{\beta^{\mathsf T}z_{i_j}(t_j)}} {\sum_{k\in R(t_j)}\lambda_0(t_j)e^{\beta^{\mathsf T}z_k(t_j)}} =\frac{e^{\beta^{\mathsf T}z_{i_j}(t_j)}} {\sum_{k\in R(t_j)}e^{\beta^{\mathsf T}z_k(t_j)}}.

把这些贡献相乘得到部分似然 $L_p(\beta)$ 。共同的基线因子逐次抵消，但观察顺序和风险集仍保留。不能把这个推导读成“在任意删失机制下，对全部事件时刻条件化都能消除干扰”。

从似然走到计算

令

\bar z_\beta(t)=\frac{\sum_{k\in R(t)}z_k(t)e^{\beta^{\mathsf T}z_k(t)}} {\sum_{k\in R(t)}e^{\beta^{\mathsf T}z_k(t)}}.

对数部分似然的得分为 $U(\beta)=\sum_j[z_{i_j}(t_j)-\bar z_\beta(t_j)]$ ；负 Hessian 是各风险集加权协变量协方差之和。拟合就是反复计算这些加权均值与协方差，再求解 Newton 更新。信息矩阵若奇异，应检查协变量是否在风险集内缺乏变化，不能只增加迭代次数。

截距在分子、分母中同样抵消，所以 Cox 部分似然不估计独立截距。给所有人同时增加的风险倍数归入 $\lambda_0$ 。

直觉

如果基线风险随时间怎样变化都不知道，仍能估计两类对象之间的相对风险吗？Cox 模型的入口是每次事件发生时的一次局部比较：谁还在风险集中，这次为什么轮到此人？

例子与边界

完整小例子

三人均从 $0$ 进入。A 的 $z=1$ ，在 $1$ 发生事件；B 的 $z=0$ ，在 $2$ 发生事件；C 的 $z=1$ ，在 $3$ 删失。第一次风险集是三人，第二次是 B、C。因此

L_p(\beta)=\frac{e^\beta}{1+2e^\beta}\frac1{1+e^\beta}.

在 $\beta=0$ ，似然为 $1/6$ ，两次事件的得分贡献分别是 $1-2/3=1/3$ 与 $0-1/2=-1/2$ ，总得分 $-1/6$ 。这告诉我们从零出发，局部增加似然应朝负方向移动。

若直接解得分方程，令 $a=e^\beta$ ，有 $1-2a/(1+2a)-a/(1+a)=0$ ，化简为 $1-2a^2=0$ 。于是 $\widehat\beta=-\tfrac12\log2$ ，风险比约 $0.707$ 。C 没发生事件，仍两次出现在分母中，因而提供了比较信息。

边界与解释

风险比 $2$ 不表示到某日发生事件的概率翻倍。固定协变量下，生存函数为 $S(t\mid z)=S_0(t)^{\exp(\beta^{\mathsf T}z)}$ ；若 $S_0(t)=0.8$ ，风险倍数 $2$ 给出生存率 $0.64$ ，事件概率从 $0.2$ 变为 $0.36$ 。

加速失效时间模型直接伸缩寿命的时间轴，系数解释为时间比；Cox 则约束瞬时风险比。Weibull 可以同时满足两种结构，但一般 AFT 分布不必比例风险，二者系数不能直接互换。

在竞争风险中，原因别 Cox 模型的风险集只保留尚未发生任何事件者。Fine–Gray 模型改用与目标累计发生率相连的亚分布分母，其中保留已经发生竞争事件者；它的比例性和系数含义需要分别核对，不能沿用原因别风险的解释。

并列事件需要明确采用 exact、Breslow 或 Efron 处理；把同日多个事件按任意顺序逐个移出风险集会制造信息。某协变量若完美区分事件次序，最大值可能在无穷远，拟合前应检查有限最大值的存在条件。

比例风险违背可借助Schoenfeld 残差检查。非比例风险时，应明确时间变化效应或更换估计目标。观察研究还需要混杂控制与额外识别条件，部分似然本身不给出因果解释。

推论与应用

估计 $\beta$ 后，可以另行估计基线累积风险，再预测具体生存曲线。这里“无需先指定基线形状”节省的是建模假设，并未省去绝对风险预测所需的基线估计。

参考资料

D. R. Cox, Regression Models and Life-Tables, JRSS B 34, 1972, pp. 187–202，模型与条件比较的原始论述。
Stanford STATS 305B, Cox (proportional hazards) model, “Partial likelihood”, “Score”, “Hessian” sections，风险集计算的教学展开。

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