Lie 代数 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $\mathbb K$ 是域。 $\mathbb K$ 上的 Lie 代数是一个向量空间 $\mathfrak g$ ，配备运算

[\ ,\ ]:\mathfrak g\times\mathfrak g\longrightarrow\mathfrak g,

称为 Lie 括号，满足下列三条条件：

双线性：固定任一输入后，对另一输入是 $\mathbb K$ 上的线性映射。
交替性：每个 $x\in\mathfrak g$ 都有 $[x,x]=0$ 。
Jacobi 恒等式：任意 $x,y,z\in\mathfrak g$ 满足 $[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0.$

交替性与双线性给出

0=[x+y,x+y]=[x,y]+[y,x],

所以 $[x,y]=-[y,x]$ 。当域的特征不为 $2$ 时，反对称性也能推出交替性；特征为 $2$ 时，代入 $y=x$ 只会得到 $2[x,x]=0$ ，因此一般定义直接要求交替性。下面的交换子构造适用于任意域，而涉及系数 $2$ 的 $\mathfrak{sl}_2$ 计算统一取 $\mathbb K=\mathbb R$ 或 $\mathbb C$ 。

线性子空间 $\mathfrak h\subseteq\mathfrak g$ 若满足 $[\mathfrak h,\mathfrak h]\subseteq\mathfrak h$ ，就称为 Lie 子代数。线性子空间 $I$ 若满足更强的 $[\mathfrak g,I]\subseteq I$ ，就称为 Lie 理想：它不仅容许内部取括号，还容许与整个代数中的元素取括号。这两个条件的区别将在 $\mathfrak{sl}_2$ 中具体出现。

直觉

两个线性操作的先后次序可能改变结果。对同一向量空间上的算子 $A,B$ ，复合 $AB$ 表示先作 $B$ 、再作 $A$ ；差 $AB-BA$ 便把这种次序差异记录成另一个线性算子。Lie 代数抽取的正是这类“比较次序”的运算：保留向量的线性组合和括号，不要求每两个元素另有一个结合乘积。

交替性说同一个操作与自身没有次序差异。Jacobi 恒等式则约束三种操作之间的差异如何相容。把反对称性代入 Jacobi，可改写为

[x,[y,z]]=\bigl[ [x,y],z\bigr]+[y,[x,z]].

因此，固定 $x$ 后的运算 $y\mapsto[x,y]$ 对括号满足一种乘积法则：作用到 $[y,z]$ 上，等于分别作用到两个输入后相加。这个形式会直接导出后面的伴随作用恒等式。

零括号也是有用的基准。任意向量空间取 $[x,y]=0$ 都成为 Lie 代数，称为交换或阿贝尔 Lie 代数；非零括号则描述哪些方向之间存在相互作用。矩阵给出有限维的计算模型，向量场与 Lie 括号给出几何模型：那里比较的是对光滑函数连续求导的两种次序，标量取实常数。

例子与边界

从算子复合构造 $\mathfrak{gl}(V)$

设 $V$ 是 $\mathbb K$ 上的向量空间， $\operatorname{End}_{\mathbb K}(V)$ 是所有 $V\to V$ 的线性映射。定义

[A,B]=AB-BA.

复合对加法与数乘分配，故括号双线性； $[A,A]=AA-AA=0$ 给出交替性。Jacobi 恒等式可逐项验证：

\begin{aligned} [A,[B,C]]&=ABC-ACB-BCA+CBA,\\ [B,[C,A]]&=BCA-BAC-CAB+ACB,\\ [C,[A,B]]&=CAB-CBA-ABC+BAC. \end{aligned}

三行相加时，六种有序乘积各出现一次正号、一次负号，全部抵消。这里能把三重复合写成没有括号的 $ABC$ ，依据的是算子复合的结合律。

这个 Lie 代数记为 $\mathfrak{gl}(V)$ ；构造不要求 $V$ 有限维。当 $V$ 有一组含 $n$ 个向量的基时，用矩阵表示算子，得到全部 $n\times n$ 矩阵组成的 $\mathfrak{gl}_n(\mathbb K)$ 。换基改变矩阵条目，但保留交换子的运算关系。

完整算出 $\mathfrak{sl}_2$ 的括号

现在取 $\mathbb K=\mathbb R$ 或 $\mathbb C$ ，考虑迹为零的矩阵空间

\mathfrak{sl}_2(\mathbb K) =\left\{\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}:a,b,c\in\mathbb K\right\}.

它是线性子空间。由迹的循环不变性，

\operatorname{tr}[A,B]=\operatorname{tr}(AB)-\operatorname{tr}(BA)=0,

所以它对括号封闭，从而是 $\mathfrak{gl}_2(\mathbb K)$ 的 Lie 子代数。

选取有序基 $(E,F,H)$ ：

E=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad F=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\qquad H=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.

任意元素唯一写成 $aH+bE+cF$ 。先计算普通矩阵乘积：

\begin{gathered} EF=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad FE=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix},\\ HE=E,\quad EH=-E,\qquad HF=-F,\quad FH=F. \end{gathered}

相减得到 $[E,F]=H$ 、 $[H,E]=2E$ 、 $[H,F]=-2F$ 。结合交替性和反对称性，完整括号表如下；行是第一个输入，列是第二个输入。

$[\text{行},\text{列}]$	$E$	$F$	$H$
$E$	$0$	$H$	$-2E$
$F$	$-H$	$0$	$2F$
$H$	$2E$	$-2F$	$0$

双线性使这张表足以计算任意括号。若 $X=aH+bE+cF$ 、 $Y=pH+qE+rF$ ，则

[X,Y]=(br-cq)H+2(aq-bp)E+2(cp-ar)F.

例如 $[H+E,F]=[H,F]+[E,F]=H-2F$ ；矩阵结果为 $\begin{pmatrix}1&0\\-2&-1\end{pmatrix}$ ，仍然迹为零。

两种封闭性与结合律

$\mathfrak{sl}_2$ 对交换子封闭，却不对普通矩阵乘法封闭： $E,F$ 的迹均为零，而 $\operatorname{tr}(EF)=1$ 。因此，确认一个矩阵空间是 Lie 子代数时，要检验的是 $AB-BA$ 是否留下来。

一维子空间 $\mathbb K H$ 是 Lie 子代数，因为任意 $aH,bH$ 的括号为零。但它不是 $\mathfrak{sl}_2$ 的 Lie 理想： $[E,H]=-2E\notin\mathbb K H$ 。内部取括号封闭，无法保证与外部元素取括号后也封闭。

底层矩阵乘法的结合律保证了 Jacobi 恒等式，Lie 括号自身却不满足结合律。例如

[H,[E,F]]=[H,H]=0,\qquad \bigl[ [H,E],F\bigr]=[2E,F]=2H.

所以嵌套括号的位置确实影响结果；Jacobi 提供的是三项之间的关系，不能用来任意移动括号。

推论与应用

伴随作用把括号变回线性算子

每个 $X\in\mathfrak g$ 都定义一个线性算子

\operatorname{ad}_X:\mathfrak g\to\mathfrak g,\qquad \operatorname{ad}_X(Z)=[X,Z].

Jacobi 的乘积法则形式给出，对任意 $Z$ ，

\begin{aligned} \bigl(\operatorname{ad}_X\operatorname{ad}_Y -\operatorname{ad}_Y\operatorname{ad}_X\bigr)(Z) &=[X,[Y,Z]]-[Y,[X,Z]]\\ &=\bigl[ [X,Y],Z\bigr]. \end{aligned}

因此

[\operatorname{ad}_X,\operatorname{ad}_Y] =\operatorname{ad}_{[X,Y]}.

左边是 $\operatorname{End}_{\mathbb K}(\mathfrak g)$ 中的算子交换子，右边先在 $\mathfrak g$ 中取括号，再形成算子。映射 $X\mapsto\operatorname{ad}_X$ 既线性又保持括号，称为伴随表示；这里可以完全通过已有的括号表理解它。

三个伴随矩阵与一次交换子核对

在 $\mathfrak{sl}_2$ 的有序基 $(E,F,H)$ 下，使用列坐标约定：第 $j$ 列是第 $j$ 个基向量的像。记三个矩阵分别为 $A_E,A_F,A_H$ ，由表逐列读出

A_E=\begin{pmatrix} 0&0&-2\\ 0&0&0\\ 0&1&0 \end{pmatrix},\qquad A_F=\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&2\\ -1&0&0 \end{pmatrix},\qquad A_H=\begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&-2&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.

例如 $A_E$ 的第二列是 $(0,0,1)^{\mathsf T}$ ，因为 $[E,F]=H$ ；第三列是 $(-2,0,0)^{\mathsf T}$ ，因为 $[E,H]=-2E$ 。同时， $\operatorname{ad}_H$ 的三个特征向量就是 $E,F,H$ ，对应特征值 $2,-2,0$ ：取一次与 $H$ 的括号，会放大 $E$ 方向、反向放大 $F$ 方向，并消去 $H$ 方向。

直接相乘可以核对伴随作用的恒等式，而无需再援引抽象证明：

A_EA_F=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&0&0\\0&0&2\end{pmatrix},\qquad A_FA_E=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}.

两者相减恰好得到 $A_H$ ，与 $[E,F]=H$ 相符。这就把原先三个 $2\times2$ 矩阵之间的括号，转换成作用在三维空间上的三个 $3\times3$ 矩阵之间的交换子。

在这个例子中，伴随作用还保留了全部元素信息。若 $X=aH+bE+cF$ 满足 $\operatorname{ad}_X=0$ ，则

[X,H]=-2bE+2cF=0,\qquad [X,E]=2aE-cH=0.

由于 $E,F,H$ 线性无关，且实数或复数中的 $2$ 非零，先得 $b=c=0$ ，再得 $a=0$ 。一般 Lie 代数未必如此：能与所有元素取零括号的元素都会被伴随作用送到零算子；零括号的 Lie 代数就是最直接的例子。

参考资料

Pavel Etingof，Lie Groups and Lie Algebras I，MIT 18.745，Fall 2020 完整讲义，§§8.1–8.4，印刷页 49–51：Lie 代数、矩阵交换子与伴随作用；§11.4 开头，印刷页 65： $\mathfrak{sl}_2$ 的三个标准基矩阵和括号关系。
Victor Kac，Michael Crossley 整理，Lecture 1: Introduction to Lie Algebras，MIT 18.745，2010-09-09，第 1–2 页：由结合代数的交换子构造 Lie 代数、Jacobi 展开证明与迹零矩阵的封闭性。

形式陈述 ​

从算子复合构造 gl(V) ​

完整算出 sl2 的括号 ​

两种封闭性与结合律 ​

伴随作用把括号变回线性算子 ​

三个伴随矩阵与一次交换子核对 ​

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