线性映射

线性要求“先按系数组合，再施加变换”和“先分别变换，再按同样系数组合”产生同一个结果。它约束的不只是直线形状，更是每一个线性组合的系数关系。

一组基的像因此决定整个映射：若 $v=\sum _i{a}_i{e}_i$，则 $T(v)=\sum _i{a}_{i}T(e_i)$。基展开唯一，保证预先任意指定这些 $T(e_i)$ 都能定义一个线性映射。若只有一组带关系的生成元，就要检查不同表达式是否给出同一输出：例如 $v_3=v_1+v_2$ 时必须有 $T(v_3)=T(v_1)+T(v_2)$。否则同一个输入既可写成 $v_3$，也可写成 $v_1+v_2$，指定的规则会给出两个答案，连函数都没有定义好。

矩阵是选基后的坐标记录，而非映射自带的固定数表。线性还始终相对于标量域而言：保持实数线性组合不代表保持复数线性组合。它也不意味着保持长度、角度或内积，这些都是更强的要求。

多项式上的微分与求值 ​

设 $n\ge 1$，$P_n(F)$ 表示次数至多为 $n$ 的多项式空间。形式微分

是线性的，因为 $(ap+bq{)}^{\prime }=a{p}^{\prime }+b{q}^{\prime }$。在 $F=\mathbb{R}$、$n=2$ 时，$D(a+bx+c{x}^2)=b+2cx$，所以核恰为常数，像是全部 $P_1(\mathbb{R})$。一般特征下却不能照搬核的描述：在特征 $p$ 的域上，$D(x^p)=p{x}^{p-1}=0$，因此当 $n\ge p$ 时核还包含非常数多项式。

另定义三点求值映射

求值保持线性组合。若 $T(p)=0$，则次数至多为 $2$ 的多项式有三个不同零点，只能为零，故 $T$ 单射。还能直接写出任意输出 $(u,v,w)$ 的原像：

这个式子可以直接从测量值推出来。设 $p(x)=a+bx+c{x}^2$，中点值给出 $a=v$；左右两点相减得到 $2b=w-u$，相加得到 $2a+2c=u+w$，依次解出三个系数便是上式。代入 $-1,0,1$ 分别得到 $u,v,w$，所以它也满射，是同构。

例如测得 $(u,v,w)=(1,2,5)$，先得 $a=2$，再得 $b=2,c=1$，恢复 $p(x)=2+2x+x^2$。这里输入是一个多项式，输出是三个函数值；逆映射把观测值变回系数，展示了线性映射可以连接外观很不同的对象。

保持零点只是必要条件 ​

仿射映射 $x\mapsto Ax+b$ 在 $b\ne 0$ 时不保持零向量，因而不线性。但保持零也不够：$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$、$f(x)=x^2$ 满足 $f(0)=0$，却有 $f(1+1)=4\ne 2=f(1)+f(1)$。

复共轭 $C(z)=\overline{z}$ 对实数标量线性；对复数标量不线性，因为 $C(i)=-i$ 而 $iC(1)=i$。指定域是定义的一部分，而不是符号上的附注。

核与像公理库线性映射的核与像Kernel and image · Null space and range分别记录被线性映射压到零的方向与实际能够到达的向量集合。区分了信息丢失与可达输出。$T(u)=T(v)$ 等价于 $T(u-v)=0$，所以单射当且仅当核为零；满射当且仅当像等于陪域。若定义域有限维，秩与核维数满足 $\dim V=\dim \ker T+\dim \mathrm{im}T$；微分 $P_2(\mathbb{R})\to P_1(\mathbb{R})$ 正好给出 $3=1+2$。

选定定义域和陪域的有序基后，矩阵公理库矩阵Matrix以有限行列集合为索引、取值于半环，并以中间指标求和定义乘法的函数。的第 $j$ 列记录 $T(e_j)$ 的坐标。例如上面的三点求值在基 $(1,x,x^2)$ 下由

表示。三列依次是 $T(1)=(1,1,1)$、$T(x)=(-1,0,1)$ 与 $T(x^2)=(1,0,1)$；把它们按输入系数 $a,b,c$ 加权，便得到 $(a-b+c,a,a+b+c)$。所以矩阵乘法正是在坐标中执行“先变换基向量，再组合”，并未引入另一套映射规则。

换基会改变矩阵条目，但不改变核的维数、秩或可逆性。给定相同定义域、陪域的两个线性映射，其和与标量倍仍线性；类型匹配时复合也线性。

若把标量域推广为含幺环，同样保持加法与标量乘法的映射称为模同态公理库模同态Module homomorphism同时保持加法与标量乘法的模之间映射。；本页是标量环为域时的情形。

连续性、有界性、伴随与条件数还需要范数或内积等附加结构。在无限维空间中不能仅由代数线性推出连续，讨论这些性质时应明确后续所加的假设。