Lie 群的 Lie 代数 | Codeboy's Blog

形式陈述

从一个切向量得到整个向量场

设 $G$ 为实 Lie 群，单位元为 $e$ ，记 $\mathfrak g=T_eG$ 。对 $X\in\mathfrak g$ ，定义

\widetilde X(g)=(dL_g)_eX.

它满足 $(dL_h)_g\widetilde X(g)=\widetilde X(hg)$ ，称为左不变向量场。这个条件也说明它由 $e$ 处的值唯一决定：给定一张左不变向量场，只需读取 $\widetilde X(e)$ 就能恢复全部值。

向量场的 Lie 括号对光滑函数 $f$ 定义为

[\widetilde X,\widetilde Y]f =\widetilde X(\widetilde Yf)-\widetilde Y(\widetilde Xf).

微分同胚保持向量场括号，所以两个左不变向量场的括号仍左不变。于是可以在单位元读取结果：

[X,Y]_{\mathfrak g}=[\widetilde X,\widetilde Y](e).

这就是 $G$ 的 Lie 代数。双线性、交替性和 Jacobi 恒等式从向量场括号继承，因而不是额外猜出来的三条规则。这里采用左不变约定；若直接用右不变场而不加符号调整，得到的括号会反号。

直觉

群元素描述一次有限变换，单位元处的切向量描述“刚开始动时的速度”。速度可以相加，群元素却不能直接相加。怎样在这个线性化空间中留下群乘法的非交换信息？答案是先把一个速度搬到群的每一点，成为左不变向量场，再比较两个向量场的作用次序。

例子与边界

为什么矩阵情形恰好是交换子

先在 $GL_n(\mathbb R)$ 中计算。其单位元切空间是全部矩阵 $M_n(\mathbb R)$ ，而左不变场为 $\widetilde X(A)=AX$ 。向量场在开集坐标中的括号公式给出

[\widetilde X,\widetilde Y](A) =D\widetilde Y_A(AX)-D\widetilde X_A(AY) =AXY-AYX=A(XY-YX).

取 $A=I$ ，便得到 $[X,Y]=XY-YX$ 。这一步把群上的几何构造与抽象Lie 代数中的矩阵模型接起来；不是因为“切空间都是矩阵”就可以省掉括号的验证。

完整计算旋转群的切空间

设 $Q(t)\in SO(3)$ 是光滑曲线， $Q(0)=I$ 、 $Q'(0)=X$ 。对 $Q(t)^{\mathsf T}Q(t)=I$ 求导，得到

X^{\mathsf T}+X=0.

因此切向量必须是反对称矩阵。反过来，若 $X^{\mathsf T}=-X$ ，矩阵指数满足

(e^{tX})^{\mathsf T}e^{tX}=e^{-tX}e^{tX}=I, \qquad \det(e^{tX})=e^{t\operatorname{tr}X}=1,

且在零点的导数为 $X$ 。所以每个反对称矩阵确实由群内曲线产生，得到等号

\mathfrak{so}(3)=\{X\in M_3(\mathbb R):X^{\mathsf T}=-X\}.

只对约束求导给出的是必要条件；构造曲线补上了充分性。

将 $a=(a_1,a_2,a_3)$ 对应到

\widehat a=\begin{pmatrix}0&-a_3&a_2\\a_3&0&-a_1\\-a_2&a_1&0\end{pmatrix}, \qquad \widehat a\,v=a\times v.

对任意 $v$ ，向量三重积恒等式给出

[\widehat a,\widehat b]v =a\times(b\times v)-b\times(a\times v) =(a\times b)\times v.

故 $[\widehat a,\widehat b]=\widehat{a\times b}$ 。例如 $a=e_1,b=e_2$ 时， $[\widehat e_1,\widehat e_2]=\widehat e_3$ ：绕两个不同坐标轴的微小旋转，其次序差出现在第三个轴方向。

$SU(2)$ 中的对应计算

由 $U^*U=I$ 、 $\det U=1$ 在单位元处求导，得到

\mathfrak{su}(2)=\{X:X^*=-X,\ \operatorname{tr}X=0\}.

反过来，若 $X^*=-X$ 且 $\operatorname{tr}X=0$ ，则 $(e^{tX})^*e^{tX}=e^{-tX}e^{tX}=I$ 、 $\det(e^{tX})=e^{t\operatorname{tr}X}=1$ ，而这条曲线在 $t=0$ 的导数为 $X$ 。因此每个满足条件的矩阵都由 $SU(2)$ 内曲线实现，补全了上述等号的反向包含。令

\sigma_1=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \sigma_2=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad \sigma_3=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad T_j=-\frac i2\sigma_j.

三个 $T_j$ 是实向量空间 $\mathfrak{su}(2)$ 的一组基。由 $\sigma_1\sigma_2=i\sigma_3$ 与 $\sigma_2\sigma_1=-i\sigma_3$ ，可算出

[T_1,T_2]=(-i/2)^2(2i\sigma_3)=T_3,

循环交换下标得到另两条关系。因此 $T_j\mapsto\widehat e_j$ 保持全部括号，是 $\mathfrak{su}(2)\cong\mathfrak{so}(3)$ 的实 Lie 代数同构。

推论与应用

光滑群同态 $F:G\to H$ 的微分 $(dF)_e$ 保持括号。这是因为同态把左平移相互对应，进而把相关的左不变向量场和它们的括号相互对应。微分不是任意线性近似，而是与群运算相容的线性近似。

然而相同 Lie 代数不保证相同 Lie 群。 $\mathbb R$ 加法群与圆群的 Lie 代数都是一维零括号空间；前者单连通且非紧，后者有周期且紧。刚才算出的 $SU(2)$ 与 $SO(3)$ 也不是同一个群，它们的关系由覆盖与整体形式说明。群的有限分支更可能完全不被 $T_eG$ 看见：任何离散群的 Lie 代数都是零空间。

参考资料

Pavel Etingof，Lie Groups and Lie Algebras I，§§5.4、6.1、8.4，左不变向量场、经典群切空间及括号；Proposition 8.12。
Alexander Kirillov Jr.，An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras，§§3.2–3.5，Lie 代数、矩阵群例子及向量场。

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从一个切向量得到整个向量场 ​

为什么矩阵情形恰好是交换子 ​

完整计算旋转群的切空间 ​

SU(2) 中的对应计算 ​

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完整计算旋转群的切空间

$SU(2)$ 中的对应计算