Lie 群

平面旋转可以由一个角度连续地改变，而置换只能在离散选项间跳转。怎样把“变换可以求导”加入群的定义，又不让坐标选择影响答案？Lie 群把群运算放在一个光滑流形上，要求相乘和求逆在局部坐标中都是光滑函数。本页先检查这种相容性；从单位元取切空间是下一步的工作。

圆群如何在坐标中相乘 ​

取 $S^1=\{z\in \mathbb{C}:|z|=1\}$，运算为复数乘法。写 $z=x+iy$、$w=u+iv$，则

这些是实坐标中的多项式，限制在圆上仍然光滑。因此圆周既是流形，又确实满足 Lie 群要求。局部写 $z=e^{i\theta }$ 时，乘法对应角度相加；但 $\theta$ 与 $\theta +2\pi$ 表示同一点，角度不是全局一一对应的实数坐标。

相同的群也能写成矩阵：

直接乘矩阵时，左上角是 $\cos \theta \cos \varphi -\sin \theta \sin \varphi =\cos (\theta +\varphi )$，其余三项由同样的三角恒等式得到。映射 $e^{i\theta }\mapsto R(\theta )$ 是 $S^1\cong SO(2)$ 的 Lie 群同构。这里“同构”同时保留乘法与光滑结构。

矩阵可逆性为何给出开流形 ​

一般线性群

是 ${\mathbb{R}}^{n^2}$ 的开集，故维数为 $n^2$。乘法各项为有限个乘积的和；逆矩阵公式 $A^{-1}=\mathrm{adj}(A)/\det A$ 的分母在这个开集内不为零。这就逐项验证了光滑性。

更小的矩阵群需要另查流形条件。例如

令 $F(A)=A^{\mathsf{T}}A$，把目标视为对称矩阵空间。在 $Q\in O(n)$ 处，

给定对称矩阵 $S$，取 $H=QS/2$ 就得到 $D{F}_Q(H)=S$。微分满射，因而正则水平集定理公理库正则水平集定理Regular level set theorem · Regular value theorem · Preimage theorem for a point正则值的非空原像是余维等于陪域维数的嵌入子流形，其切空间等于微分之核。说明 $O(n)$ 是维数

的嵌入子流形。其上求逆就是转置。$SO(n)$ 是 $O(n)$ 中行列式为 $1$ 的开闭部分，因此维数相同；特别地，$SO(3)$ 是三维 Lie 群。只写出若干方程，并不足以自动得出这些结论。

连通、交换与维数不是同一件事 ​

当 $n\ge 1$ 时，$G{L}_n(\mathbb{R})$ 因行列式的正负分成两个连通分支；$n=0$ 时只有唯一的空可逆矩阵，得到一点群。Lie 群定义并不要求连通；有限群配离散拓扑也成为零维 Lie 群。无限离散群若要符合这里的第二可数约定，则必须可数。

旋转群 $SO(2)$ 交换，但 $SO(3)$ 通常不交换。令 $R_x,R_y$ 分别为绕 $x,y$ 轴旋转 $\pi /2$ 的矩阵。对 $e_z=(0,0,1)$，先作 $R_y$ 再作 $R_x$ 得 $e_x$；先作 $R_x$ 再作 $R_y$ 得 $-e_y$。两种结果不同，说明连续参数并不意味着操作次序无关。

反过来，$(\mathbb{Q},+)$ 在实数继承的拓扑下是拓扑群，却不是 Lie 群。任何点都不是孤立点，所以它不可能是零维流形；它又没有非平凡连通邻域，因此不可能局部同胚于正维 Euclidean 开集。群运算连续只是起点，还需要真正的流形结构。

Lie 群的 Lie 代数公理库Lie 群的 Lie 代数Lie algebra of a Lie group用左平移把单位元切向量延拓为向量场，由向量场括号导出矩阵交换子和旋转的无穷小结构。把单位元处的速度组成线性空间，并从左平移构造括号；它会丢掉某些整体信息。闭子群定理公理库闭子群定理Closed subgroup theorem · Cartan closed subgroup theoremLie 群的拓扑闭子群自动是嵌入 Lie 子群；解释闭性在极限与局部坐标中的作用，并用环面稠密子群说明边界。解决更困难的反向问题：一个只按拓扑定义为闭集的子群，为什么自动成为嵌入子流形。群表示公理库群表示Group representation把群同态地映入向量空间可逆线性变换群的结构。则选择一个向量空间，让群元素作用为线性变换；群本身不必预先就是某个固定矩阵空间的子群。