动量映射

动量映射把“每个无穷小方向各有一个守恒量”收集成一个取值于 ${\mathfrak{g}}^{\ast }$ 的对象。把 $\mu (x)$ 与一个方向 $\xi$ 配对，就取出产生该方向运动的Hamilton函数。

函数添加常数不改变向量场，所以先找到原始函数还留有自由度。等变性要求这些常数与群的代数结构配合。有时可以选择合适常数，有时障碍无法消去。

负向圆周转动给出正的平方范数 ​

取 $n\ge 1$，令 $S^1=\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$ 作用于 ${\mathbb{C}}^n$：

生成元 $1\in \mathbb{R}$ 对应

因此

可取 $\mu (z)=|z{|}^2/2$。圆周群余伴随作用平凡，而范数在转动下不变，所以等变性也成立。

正值 $c$ 的水平集是半径 $\sqrt{2c}$ 的球面；零水平只有原点。若把作用改成 $e^{it}z$，生成场反号，相同收缩约定下的动量函数就应取 $-|z{|}^2/2$，不能仍用原来的正号。

全部生成场Hamilton，仍可能没有等变动量映射 ​

令加法群 $G={\mathbb{R}}^2$ 在 $(q,p)$ 平面上平移。两个基生成场为 ${\partial }_q$、${\partial }_p$，相应Hamilton函数可取 $p$、$-q$，所以式(1)允许 $\mu =(p,-q)$。

但是 $G$ 交换，余伴随作用平凡，等变性会要求 $\mu$ 在所有平移下不变。平移作用传递，这迫使 $\mu$ 常值，与式(1)矛盾。添加常数不能改变这个结论。

用Poisson括号公理库辛流形上的 Poisson 括号Poisson bracket on a symplectic manifold从Hamilton场定义Poisson括号，逐式核验反同态负号、Jacobi恒等式与角动量守恒。也能立即看到障碍：$\{p,-q\}=1$，而Lie代数的括号为零，等变性应要求这个Poisson括号为零。

另一种更早发生的失败是 $T^2$ 上沿 $q$ 方向的圆周平移：收缩得到 $dp$，沿闭路积分为1，连式(1)所需的全局Hamilton函数都不存在。

等变性如何变成函数括号关系 ​

对式(2)沿 $g=\exp \left(t\eta \right)$ 求导：

由于 ${\eta }_M=X_{{\mu }^{\eta }}$，左端就是 $\{{\mu }^{\xi },{\mu }^{\eta }\}$，故

这里左作用的生成场映射满足 $[{\xi }_M,{\eta }_M]=-[\xi ,\eta {]}_M$；它与Hamilton场反同态的负号彼此抵消，因而式(3)是正号。

若只给出满足式(1)的线性函数族，式(3)两边所生成的Hamilton场仍相同，所以它们的差在每个连通分支上为常数。平面平移例子的常数1正是这种缺陷。对于连通群，式(3)可以沿一参数子群积分恢复等变性；不连通群还要检查其余分支。

若 $M$ 连通，两个满足式(1)的映射相差常向量 $\lambda \in {\mathfrak{g}}^{\ast }$。若它们都满足式(2)，该常向量必须被余伴随作用固定；任意常向量不一定允许。

守恒律与约化 ​

若Hamilton函数 $H$ 在群作用下不变，则 ${\xi }_M(H)=0$。由反对称性，

所以全部动量分量沿 $H$ 的运动守恒。固定一个动量值后，轨线留在相应水平集；辛约化公理库Marsden–Weinstein 辛约化Marsden–Weinstein reduction · Symplectic reduction证明动量水平集的全部退化方向正是对称轨道，完成C2到CP1的约化、局部形式与面积计算。再商掉对称轨道，并检查哪些条件让剩下的空间仍然辛。