Darboux 辛坐标定理

辛基公理库辛向量空间Symplectic vector space构造交替非退化配对的标准辛基，计算辛正交补，并得到Lagrangian维数界与线性约化。只能整理一个点的配对。要让附近所有点同时标准化，还需要利用闭性，把变化写成一个外微分，再用Moser流补偿。

这使辛结构与Riemann度量的局部几何很不同：度量在一点可以标准化，曲率却可能阻止它在邻域内变成常数；单独的辛形式没有同类的局部曲率障碍。若额外指定度量、复结构或函数，额外数据仍可具有局部不变量。

直接算出一组辛坐标 ​

在 ${\mathbb{R}}^2$ 上令

取 $q=x$、$p=(1+x^2)y$，则

雅可比行列式为 $1+x^2>0$，逆变换为 $x=q,y=p/(1+q^2)$。因此这个例子甚至有全局辛坐标。

这里不需要强迫新动量只依赖旧 $y$。允许位置与动量共同变化，才有足够自由消去系数。

球面的局部标准化不变成全局标准化 ​

$S^2$ 的面积形式在每点附近都能写成 $dq\wedge dp$。若存在全局实函数 $q,p$ 使这个等式覆盖整个球面，则 $\omega =d(qdp)$ 全局恰当，Stokes 定理公理库流形上的 Stokes 定理Stokes' theorem on manifolds紧支撑微分形式的外微分在流形上的积分等于该形式在边界上的积分。会令总面积为零，与 $4\pi$ 矛盾。

所以所有小片都具有相同标准形式，仍可通过不同方式粘成具有整体拓扑与面积信息的流形。

第一步：只在中心匹配，再控制整条路径 ​

零维时每个点有单点坐标邻域，结论直接成立。以下设 $n\ge 1$，先取任意坐标，把 $x_0$ 记作0。线性换坐标使 $\omega (0)$ 等于常系数标准形式 ${\omega }_0$。令 $\beta =\omega -{\omega }_0$，则 $d\beta =0$、$\beta (0)=0$。

考虑 ${\omega }_t={\omega }_0+t\beta$。在0处它们全等于非退化的 ${\omega }_0$。缩小到一个球后，可以使矩阵范数 $\Vert {\omega }_0^{-1}\beta (x)\Vert <1/2$；于是 $I+t{\omega }_0^{-1}\beta (x)$ 对所有 $t\in [0,1]$ 可逆，整条路径都辛。这里统一控制时间区间，不能只对每个 $t$ 分别找一个未必共同的邻域。

第二步：写出在中心消失的原始形式 ​

星形球上的Poincaré引理公理库Poincaré 引理Poincare lemma · Poincaré lemma · 庞加莱引理星形开域上的正次数闭形式具有可由径向积分构造的原形式。有一个径向同伦公式。对闭二形式 $\beta$，取

同伦公式给出 $d\sigma =\beta$。由于 $\beta (0)=0$，其系数为 $O(|x|)$，式(2)使 $\sigma =O(|x{|}^2)$；特别地 ${\sigma }_0=0$。

第三步：局部流为什么能走到时间1 ​

按Moser方法公理库Moser 稳定性定理Moser stability theorem以非退化线性方程构造补偿流，显式对齐环面面积路径，并用非紧有限面积反例说明条件。解

它给出光滑的时间依赖场，且 $X_t(0)=0$。在一个较小闭球中，光滑性与时间区间紧性给出统一常数 $C$，使 $|X_t(x)|\le C|x|$。沿流线先有 $|x(t)|\le |x(0)|+C{\int }_0^t|x(s)|ds$，再由Grönwall 不等式公理库Grönwall 不等式Gronwall inequality · Grönwall lemma将受自身积分控制的非负函数封闭为显式指数上界。得到 $|x(t)|\le e^{Ct}|x(0)|$。把初始邻域再缩小为原球半径乘 $e^{-C}$ 以下，便保证整个 $0\le t\le 1$ 期间流线不逃出原球，局部解可延拓到时间1。

这一步补足了局部应用与紧流形版Moser定理之间的差别。向量场固定0，故流 ${\phi }_t$ 也固定0，并满足

特别地 ${\phi }_1^{\ast }\omega ={\omega }_0$。在像邻域中用旧标准坐标与 ${\phi }_1^{-1}$ 复合，便得到式(1)的Darboux坐标。

局部模型的用途与限制 ​

在这些坐标里，Hamilton场和Poisson括号都具有熟悉的偏导数公式。因此先在标准相空间证明一个对辛同胚不变的局部命题，就能搬到任意辛流形。

但流的完备性、全局Hamilton函数是否存在、Lagrangian图是否有单值生成函数，都不是单张Darboux图能决定的。它们还要检查闭路、无穷远处或不同坐标片之间的接合。