辛向量空间

内积把一个向量与自己配出长度；交替形式对同一个向量始终给零，它测量的是两个方向的有向配对。非退化要求每个非零方向都能找到一个与之配对非零的方向。

选出一对并把配对缩放为1后，剩余方向可以减去这两个分量，与该平面辛正交。不断重复，空间便被拆成成对的方向。偶数维是这个拆分过程的结果。

将非标准形式真正化为标准配对 ​

在 ${\mathbb{R}}^4$ 上取

若 $a_j$ 是原来的标准基，令

于是 $\omega (e_1,f_1)=2\cdot \frac{1}{2}=1$、$\omega (e_2,f_2)=1$，其余不同配对为零，得到式(1)。原坐标中可取 $q_1=x_1,p_1=2x_3,q_2=x_2,p_2=x_4$。

令 $W=\mathrm{span}(e_1,e_2)$。把 $v$ 写成 $\sum a_i{e}_i+b_i{f}_i$，条件 $\omega (v,e_j)=-b_j=0$ 强迫 $b_1=b_2=0$，故 $W^{\omega }=W$。它是Lagrangian平面。欧氏正交补却是 $\mathrm{span}(a_3,a_4)$，与 $W$ 不同；两种“正交”不能混用。

再令 $U=\mathrm{span}(e_1,f_1)$。分别与 $e_1,f_1$ 配对，得到 $U^{\omega }=\mathrm{span}(e_2,f_2)$，所以 $V=U\oplus U^{\omega }$，两边都是辛平面。

反例是 ${\mathbb{R}}^4$ 上的 $d{x}_1\wedge d{x}_2$：它交替，却把 $a_3,a_4$ 都放进核中，因而不是辛形式。仅检查矩阵反对称还不够。

辛基的有限归纳构造 ​

零空间已有所需的空辛基。否则任选非零 $e$。非退化性提供 $f$ 使 $\omega (e,f)\ne 0$，缩放后令它等于1。对任何 $v\in V$，写

第二括号分别与 $e,f$ 配对都为零。第一括号所在的平面 $U=\mathrm{span}(e,f)$ 与 $U^{\omega }$ 交为零，因为在 $ae+bf$ 上两次配对直接读出 $a,b$。

因此 $V=U\oplus U^{\omega }$。若 $v\in U^{\omega }$ 与其中所有向量配对为零，它也与 $U$ 配对为零，于是与整个 $V$ 配对为零，只能是零。因此补空间仍辛，维数每次减少2，归纳终止于零空间。

子空间维数与约化的线性模型 ​

映射 $V\to W^{\ast }$，$v\mapsto \omega (v,\cdot ){|}_W$ 满射：先把 $W$ 上的泛函延拓到 $V$，再用 $V\cong V^{\ast }$。其核正是 $W^{\omega }$，故秩—零化度定理公理库秩–零化度定理Rank–nullity theorem有限维线性映射的定义域维数等于核维数与像维数之和。给出

所以各向同性子空间至多有 $n$ 维，且恰有 $n$ 维时就是Lagrangian。

若 $I$ 各向同性，$I\subset I^{\omega }$，则

良定义：改变代表元只增加与 $I^{\omega }$ 配对为零的项。其核为 $(I^{\omega }{)}^{\omega }/I=I/I=0$，所以这个商向量空间公理库商向量空间Quotient vector space按子空间诱导的陪集等价关系取商并继承向量运算的空间。仍辛，维数为 $2n-2\dim I$。后面的辛约化公理库Marsden–Weinstein 辛约化Marsden–Weinstein reduction · Symplectic reduction证明动量水平集的全部退化方向正是对称轨道，完成C2到CP1的约化、局部形式与面积计算。正是在每一点实现这个线性模型。