辛流形

非退化是每点的线性代数要求：它让向量与一形式可以互相识别。闭性则要求相邻点上的配对变化彼此相容，是一个微分方程。

在二维，所有二形式的外微分自动为零，因而处处非零的面积形式就是辛形式。在更高维，非退化不会自动带来闭性。辛几何把这两个要求同时保留下来，才能得到Hamilton流、Poisson括号和局部标准坐标。

两个条件必须分别检查 ​

${\mathbb{R}}^4$ 上的 $\eta =d{x}_1\wedge d{y}_1$ 是闭形式，但有二维核。另一个形式

处处非退化，因为

然而 $d\zeta =e^{x_1}d{x}_1\wedge d{x}_2\wedge d{y}_2\ne 0$。因此两者都不是辛形式，各自失败的原因不同。

球面有辛面积，却没有全局原始形式 ​

把单位球面 $S^2$ 放在 ${\mathbb{R}}^3$ 中，定义

这是全局光滑的面积形式。对非零切向量 $u$，取 $v=x\times u$，便有 ${\omega }_x(u,v)=|u{|}^2>0$，所以非退化；闭性来自维数。

在球坐标中它是 $\sin \theta d\theta \wedge d\varphi$，积分为 $4\pi$。两极处球坐标失效不表示形式退化，真正的判断由上面的无坐标式给出。

如果 $\omega =d\alpha$ 全局成立，Stokes定理公理库流形上的 Stokes 定理Stokes' theorem on manifolds紧支撑微分形式的外微分在流形上的积分等于该形式在边界上的积分。会给出 ${\int }_{S^2}\omega =0$，与 $4\pi$ 矛盾。它在小坐标片中可以恰当，却不能全局恰当。

体积为何成为拓扑障碍 ​

在每点选辛基，${\omega }^n/n!$ 就是对应的非零标准体积形式。这证明辛流形必可定向，但并不要求预先选择Riemann度量。

若 $M$ 非空、紧且无边界，$n\ge 1$，并按辛形式给出的方向定向，则

如果 $\omega =d\alpha$，由于 $d\omega =0$，

Stokes定理却会让该积分为零。因此任何非空正维紧闭辛流形都有非零的de Rham类公理库de Rham 上同调de Rham cohomology · 德拉姆上同调将闭形式模去恰当形式，并用周期积分计算局部原形式无法全局粘合的障碍。 $[\omega ]\in H_{\mathrm{dR}}^2(M)$；更强地，其 $n$ 次幂非零。

例如 $H_{\mathrm{dR}}^2(S^4)=0$。若 $S^4$ 有辛形式，它必恰当，而它的平方又是正体积，产生上述矛盾。因此“偶数维且可定向”并不足以保证存在辛结构。相同论证排除所有 $S^{2n}$（$n>1$）。

局部与整体分工 ​

Darboux定理公理库Darboux 辛坐标定理Darboux theorem in symplectic geometry用径向原始形式与固定中心的Moser流证明辛形式局部标准化，并明确流存在和全局失效边界。会说明辛形式局部总能写为 $\sum d{q}_i\wedge d{p}_i$。这里并没有抹掉球面面积或上同调类：局部坐标片中的原始形式未必能接成一个全局一形式。

另一方面，余切丛的典范形式公理库余切丛的典范一形式Tautological one-form · Liouville one-form on a cotangent bundle以余向量评价定义无坐标的典范一形式，核验非线性坐标变换、自然提升和图的拉回。给出大量恰当辛流形。当 $Q$ 非空且具有正维数时，每根余切纤维都是非紧的 ${\mathbb{R}}^{\dim Q}$，且作为一点的逆像是总空间中的闭子集，因此总空间必非紧，不与上面的紧闭障碍冲突。判断存在性时，必须同时记住底空间拓扑和紧性条件。