余切丛的典范一形式

形式陈述

余切丛为什么不选度量就自带一个辛形式？设 $Q$ 是光滑流形， $\pi:T^*Q\to Q$ 为余切丛投影。总空间中的一点记作 $(q,p)$ ，其中 $p\in T_q^*Q$ 本身就是一个线性泛函。定义典范一形式

\theta_{(q,p)}(v)=p\bigl(d\pi_{(q,p)}v\bigr), \qquad v\in T_{(q,p)}T^*Q. \tag{1}

它是余切丛总空间上的微分形式。先把切向量投到底空间，再让该点携带的余向量评价它，这个定义没有坐标选择。

全单元采用

\omega=-d\theta. \tag{2}

在底坐标 $q_1,\ldots,q_n$ 与余向量坐标 $p=\sum_i p_i\,dq_i|_q$ 下，

\theta=\sum_i p_i\,dq_i, \qquad \omega=\sum_i dq_i\wedge dp_i. \tag{3}

因此 $\omega$ 闭且逐点非退化，使 $T^*Q$ 成为辛流形。闭性来自外微分的 $d^2=0$ ，非退化来自式(3)的标准配对。

直觉

一个普通流形点并不自带线性泛函；余切丛点却把这样的泛函作为自身的一部分。式(1)只是把它实际用一次，所以称为“典范”或“tautological”。

竖直切向量只改变动量而不改变底点，经过 $d\pi$ 后为零，故 $\theta$ 在竖直方向上为零。对 $\theta$ 再作外微分，则把位置方向与动量方向配成非退化的二形式。

例子与边界

在正半轴 $Q=(0,\infty)$ 上作坐标变换 $q=e^u$ 。同一个余向量若在两套坐标中分别写成 $p\,dq$ 与 $P\,du$ ，就必须满足

P=e^u p.

因而 $p\,dq=P\,du$ ，典范一形式确实不变。再计算

dq\wedge dp =e^u du\wedge d(e^{-u}P) =du\wedge dP.

若只把 $q$ 换成 $u$ ，却把 $p$ 当成不变标量，就会得到多余因子；错误来自没有把动量当成余向量坐标。

一形式 $\alpha$ 同时给出截面 $s_\alpha(q)=(q,\alpha_q)$ 。因为 $\pi s_\alpha=\operatorname{id}_Q$ ，对 $v\in T_qQ$ ，

(s_\alpha^*\theta)_q(v) =\alpha_q(d\pi\,ds_\alpha v)=\alpha_q(v).

所以

s_\alpha^*\theta=\alpha, \qquad s_\alpha^*\omega=-d\alpha. \tag{4}

例如在 $Q=\mathbb R^2$ 上， $\alpha=x\,dy$ 的图满足 $s_\alpha^*\omega=-dx\wedge dy\neq0$ 。余切丛中的任意截面图并不自动使辛形式消失；正确判据在Lagrangian子流形页展开。

推论与应用

若 $f:Q\to Q'$ 是微分同胚，定义

\widetilde f(q,p)=\bigl(f(q),\,p\circ(df_q)^{-1}\bigr).

它把底点送到 $f(q)$ ，把余向量按逆转置搬运。利用 $\pi'\widetilde f=f\pi$ ，

(\widetilde f^*\theta')_{(q,p)}(v) =p\circ(df_q)^{-1}\bigl(df_q(d\pi v)\bigr) =p(d\pi v)=\theta_{(q,p)}(v).

故 $\widetilde f^*\theta'=\theta$ ，进而 $\widetilde f^*\omega'=\omega$ 。这是坐标计算背后的自然性。

一般光滑映射 $f$ 若不是微分同胚， $(df_q)^{-1}$ 可能不存在，不能照抄这个总空间上的正向提升。余向量本来的反变性仍在，只是此处借可逆性把它写成同方向的同胚。

给定一形式 $\beta$ ，令 $\tau_\beta(q,p)=(q,p+\beta_q)$ 。直接代入式(1)，

\tau_\beta^*\theta=\theta+\pi^*\beta, \qquad \tau_\beta^*\omega=\omega-\pi^*d\beta.

所以闭一形式产生保辛纤维平移。逆向也成立，因为沿零截面拉回可知 $\pi^*$ 对形式单射。若 $\beta\neq0$ ，这种映射一般不保持 $\theta$ ；保持 $\omega$ 与保持它的特定原始形式是两种不同要求。

参考资料

Ana Cannas da Silva，Lectures on Symplectic Geometry，§§2.1–2.4，命题2.1、推论2.2；§3.2命题3.4及Homework3。