辛向量场与 Hamilton 向量场

辛形式把向量场换成一形式。要保持辛结构，这个一形式只需闭；要来自一个全局函数，它必须是某个函数的微分。

在坐标像为星形球的小片里，Poincaré 引理公理库Poincaré 引理Poincare lemma · Poincaré lemma · 庞加莱引理星形开域上的正次数闭形式具有可由径向积分构造的原形式。给闭一形式一个原始函数，所以辛向量场局部总是Hamilton。沿闭路绕一圈后，原始函数可能增加一个非零常数，无法拼成全局单值函数。这种失败不影响向量场和它的流本身良定义。

环面平移保辛，却没有全局Hamilton函数 ​

令 $T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$，形式 $dq,dp$ 从平面下降，取 $\omega =dq\wedge dp$。向量场 $X={\partial }_q$ 的流为

显然保持 $\omega$。另一方面，${\iota }_X\omega =dp$。沿闭路 $\gamma (t)=[0,t]$（$0\le t\le 1$）有

如果 $dp=dH$，这个积分应为 $H(\gamma (1))-H(\gamma (0))=0$，矛盾。因此没有全局 $H$。

局部写 $H=p$ 没有错，错的是把环面的角坐标 $pmod1$ 当成全局实值函数。相同记号在 $T^{\ast }{S}^1\cong S^1\times \mathbb{R}$ 上则不同：这里 $p\in \mathbb{R}$ 是真实的全局纤维坐标，所以 ${\partial }_q=X_p$ 确实Hamilton。

全局函数不保证流全时间存在 ​

在 ${\mathbb{R}}^2$ 上取 $H=q^{2}p$。由标准辛形式得到

若 $q(0)=q_0>0$，则 $q(t)=q_0/(1-q_{0}t)$ 在有限时间发散。因此“全局Hamilton函数”与“完备向量场”不是一回事；只有在流实际存在的时间区间上，才谈得上相应的保辛微分同胚。

从收缩公式恢复Hamilton方程 ​

若 $\omega =\sum d{q}_i\wedge d{p}_i$，写 $X_H=\sum (a_i{\partial }_{q_i}+b_i{\partial }_{p_i})$，则

与 $dH$ 比较，得到

这与欧氏Hamilton系统公理库Hamilton 系统Hamiltonian system · Hamilton 系统由 Hamiltonian 的梯度经标准辛矩阵生成相空间流的常微分方程系统。的方程一致，但式(1)不依赖一套全局坐标，也没有使用梯度或度量。

保辛性与能量守恒分别怎样证明 ​

对 $X$ 的局部流，有 $\frac{d}{dt}{\phi }_t^{\ast }\omega ={\phi }_t^{\ast }{\mathcal{L}}_X\omega$。因此式(2)的闭性判据恰好刻画流保持辛形式。Cartan公式可在局部函数和坐标微分上验证，再由外积的导子规则推广到所有形式。

对于Hamilton场，$d({\iota }_{X_H}\omega )=d^{2}H=0$，故流保辛。同时

所以 $H$ 沿自身运动守恒。这两个结论来源不同：前者用闭性，后者用交替性。

最后，de Rham上同调类公理库de Rham 上同调de Rham cohomology · 德拉姆上同调将闭形式模去恰当形式，并用周期积分计算局部原形式无法全局粘合的障碍。 $[{\iota }_X\omega ]\in H_{\mathrm{dR}}^1(M)$ 精确记录辛场是否全局Hamilton。若 $H_{\mathrm{dR}}^1(M)=0$，每个辛场都是Hamilton；在连通 $M$ 上，同一Hamilton场的两个函数仅相差常数。