辛流形上的 Poisson 括号

$\{f,H\}$ 给出沿 $H$ 所产生运动观察 $f$ 时的瞬时变化率。它为零，意味着 $f$ 是这个运动的守恒量。

把两个Hamilton场先后流动，顺序通常有差别。其无穷小差由向量场Lie括号表达，而式(3)把这个差重新写成一个Hamilton函数。负号来自已经固定的收缩与函数括号约定，不能独立删去。

两个二次函数直接检验负号 ​

在 $(q,p)$ 平面上取 $f=q^2/2$、$g=p^2/2$。有

直接把向量场当成微分算子求交换子，

另一方面，$X_{qp}=q{\partial }_q-p{\partial }_p$，两者确实相差负号。若只看向量场Lie括号也满足Jacobi，至多能推出某个函数是局部常数；下面会在函数本身上证明它为零。

平面角动量产生什么方向的转动 ​

在 $T^{\ast }{\mathbb{R}}^2$ 上令 $L=q_1{p}_2-q_2{p}_1$。标准坐标公式是

因此

位置和动量都按同一正向转动。若 $H=\frac{1}{2}(p_1^2+p_2^2)+V(q_1^2+q_2^2)$，把式(4)代入可见 $\{L,H\}=0$，所以角动量守恒。

若 $\{f,g\}=0$，相应场交换，但不保证两个函数独立。例如 $g=f^2$ 总与 $f$ 交换，却没有提供新的独立守恒量。场交换也不能反推括号为零：$\{q,p\}=1$，而 $X_q=-{\partial }_p$ 与 $X_p={\partial }_q$ 仍交换。由式 (3) 能推出的只是该括号在各连通分支上为常数。

从闭性得到交换子公式 ​

由收缩与Lie导数的恒等式 ${\iota }_{[X,Y]}={\mathcal{L}}_X{\iota }_Y-{\iota }_Y{\mathcal{L}}_X$，以及Hamilton场保持 $\omega$，

非退化性于是给出式(3)。这里Hamilton场保辛的证明用到了 $d\omega =0$，所以闭性并未在括号理论中消失。

函数级的Jacobi证明 ​

把式(3)两边作用到任意函数 $h$，得到

利用反对称性重排左边，恰好就是式(2)。这是一条函数恒等式，没有留下“相差常数”的漏洞。

Leibniz规则则来自向量场的普通乘积求导：$\{f,gh\}=-X_f(gh)=-X_f(g)h-g{X}_f(h)$。双线性由 $f\mapsto X_f$ 的线性和 $\omega$ 的双线性给出。

守恒量与成对交换 ​

沿 $H$ 的流 ${\phi }_t$，

故 $f$ 沿所有局部轨线恒定，当且仅当 $\{f,H\}=0$。若多个函数两两Poisson交换，其Hamilton场在每点张成各向同性子空间；因此线性独立的这类方向最多只有流形维数的一半。这个线性限制是可积系统中“半数独立积分”的几何来源，不等于已经证明全局可积性。