Lagrange 子流形

辛形式把位置与动量方向成对联系。Lagrangian子流形保留一半自由方向，但在这些方向内部不再产生辛面积。

余切丛中，一条一形式的图在每个底点指定一个动量。这种图何时Lagrangian，可以完全转成一形式是否闭。至于它能否由一个全局函数的梯度式数据生成，则是更强的恰当性问题。

一个真正有生成函数的图 ​

在 $Q={\mathbb{R}}^2$ 上取

其图为 $p_x=2x+y,p_y=x+3y^2$。利用典范余切形式公理库余切丛的典范一形式Tautological one-form · Liouville one-form on a cotangent bundle以余向量评价定义无坐标的典范一形式，核验非线性坐标变换、自然提升和图的拉回。，

也可直接代入：$dx\wedge d(2x+y)+dy\wedge d(x+3y^2)=dx\wedge dy+dy\wedge dx=0$。图维数为2，环境维数为4，所以它确实Lagrangian。

若改取 $\alpha =ydx$，则 $-d\alpha =dx\wedge dy\ne 0$。图仍是光滑半维子流形，却不是Lagrangian。

闭图未必有全局生成函数 ​

在 $T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ 上取 $\alpha =d{q}_1$。这个一形式全局良定义且闭，因此其图是 $T^{\ast }{T}^2$ 中的Lagrangian环面。但沿 $q_1$ 圈的积分为1，故不存在全局实函数 $S$ 满足 $dS=\alpha$。

这里的“生成函数”明确指图等于 $\mathrm{graph}(dS)$ 的单值函数 $S:Q\to \mathbb{R}$。局部生成函数存在，与这个全局否定没有矛盾；一阶de Rham类公理库de Rham 上同调de Rham cohomology · 德拉姆上同调将闭形式模去恰当形式，并用周期积分计算局部原形式无法全局粘合的障碍。记录的是它们能否全局拼合。

非图的例子：抛物线的余法丛 ​

令 $C=\{(t,t^2):t\in \mathbb{R}\}\subset {\mathbb{R}}^2$。在该点消灭切向量 $(1,2t)$ 的余向量都形如 $(-2t\lambda ,\lambda )$。余法丛由

参数化。它有二维，而典范一形式的拉回为

故辛形式的拉回也为零，这是一个Lagrangian子流形。它在 $T^{\ast }{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 下只投影到抛物线，显然不是整个底空间上一形式的图。

图的充要判据及恰当性 ​

对任意 $\alpha \in {\mathrm{\Omega }}^1(Q)$，截面 $s_{\alpha }$ 是嵌入，图自动具有半维数；典范形式满足

因此图Lagrangian当且仅当 $d\alpha =0$。若环境辛形式按 $\omega =-d\theta$ 给定，称Lagrangian为恰当，是指 $i^{\ast }\theta$ 恰当。对于图，这进一步等价于 $\alpha =dS$。不是每个辛流形都自带这样的全局 $\theta$，所以“恰当Lagrangian”必须连同环境的原始形式说明。

余法丛的一般证明 ​

设 $C^k\subset Q^n$ 是无边界嵌入子流形，定义

取适应 $C$ 的坐标 $q_{k+1}=\cdots =q_n=0$，其余法丛另满足 $p_1=\cdots =p_k=0$，所以维数为 $k+(n-k)=n$。

对余法丛的任何切向量 $v$，$d\pi (v)\in T_{q}C$，于是 $\theta (v)=p(d\pi (v))=0$。因此 $\theta$ 限制恒零，其外微分也限制为零，证明 $N^{\ast }C$ 是恰当Lagrangian。零截面与单根余切纤维分别是 $C=Q$ 与 $C=\{q\}$ 的特例。

辛同胚也能用Lagrangian图表达 ​

给两个同维辛流形，取乘积形式 ${\mathrm{pr}}_1^{\ast }{\omega }_1-{\mathrm{pr}}_2^{\ast }{\omega }_2$。微分同胚 $F:M_1\to M_2$ 的图具有乘积空间的一半维数，其上拉回形式为 ${\omega }_1-F^{\ast }{\omega }_2$。所以这个图Lagrangian，当且仅当 $F$ 保辛。乘积中的负号负责把“相等”转为“差为零”。