Moser 稳定性定理

若直接寻找 ${\phi }_t$，式(2)是一条非线性微分方程。Moser的方法先问：坐标此刻应向哪个方向移动，才能抵消形式此刻的变化？

答案是式(3)。辛形式的非退化性让这个方程像求逆矩阵一样逐点可解。之后才用常微分方程把每一刻的补偿速度累积成坐标变换。

环面面积密度的显式补偿 ​

在 $T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ 上，取 $|\epsilon |<1$，令

系数始终至少为 $1-|\epsilon |>0$，故全程辛。导数的原始形式可以取

写 $X_t=A_t{\partial }_q+B_t{\partial }_p$，式(3)给出

这里还可以明确描述整个同痕，而不只写出速度。设

它满足 $F_t(q+1)=F_t(q)+1$，且 $F_t^{\prime }(q)>0$，所以给出圆周微分同胚。取

微分恒等式 $F_t(F_t^{-1}(q))=q$ 得到式(4)，而

直接验证 ${\phi }_t^{\ast }{\omega }_t=dq\wedge dp$。坐标必须用 $F_t$ 的逆，这个方向由拉回等式决定。

图取 $\epsilon =0.6,t=1$；蓝线为 $q_0=F_1(q)$，灰虚线为恒等映射。沿红色辅助线，从 $q_0\approx 0.345$ 反查到 $q=1/4$，表示补偿同痕使用 $F_1^{-1}$；动量 $p$ 保持不变。

紧性不能直接丢掉 ​

在 ${\mathbb{R}}^2$ 上取 ${\omega }_0=dx\wedge dy$、${\omega }_1=e^{-(x^2+y^2)}dx\wedge dy$。线性插值的系数始终正，所以全程辛；差也恰当，例如可取

但 ${\omega }_0$ 总面积无穷，${\omega }_1$ 总面积为 $\pi$，不可能存在把后一形式拉回为前一形式的全局微分同胚。非紧情形需要另行控制补偿流的存在时间和行为，不能只保留形式方程。

线性方程加流为何足够 ​

每个 ${\omega }_t$ 非退化，所以式(3)唯一确定光滑 $X_t$。在紧无边界流形上，全部 $X_t$ 的支集都落在同一个紧集 $M$ 中，因此适用时间依赖流的共同紧支撑版本公理库向量场的流Flow of a vector field · Local flow把光滑向量场积分为满足局部群律的一参数局部微分同胚族。，解存在于整个有限时间段，并给出微分同胚同痕。对沿该流变化的形式，

用外微分公理库外微分Exterior derivative把 k 形式映为 k+1 形式且满足 d²=0 与分次 Leibniz 规则的算子。和Cartan公式，括号内为

所以拉回与时间无关，初值正是 ${\omega }_0$，完成证明。

注意 $X_t$ 通常不是相对于当时 ${\omega }_t$ 的辛向量场：它的任务就是抵消 ${\dot{\omega }}_t$，因而 ${\mathcal{L}}_{X_t}{\omega }_t=-{\dot{\omega }}_t$ 一般非零。

同上同调类的端点仍不够 ​

若 ${\omega }_1-{\omega }_0=d\sigma$，最容易想到线性路径 ${\omega }_t=(1-t){\omega }_0+t{\omega }_1$。它一定闭，却未必非退化。即使在一个向量空间上，两端为 $\omega$ 与 $-\omega$，中点也变成零。

所以可靠的使用顺序是：构造整条路径，检查每一点和每个时刻的非退化，提供光滑原始形式，再确认流的全时间存在。Darboux局部标准化公理库Darboux 辛坐标定理Darboux theorem in symplectic geometry用径向原始形式与固定中心的Moser流证明辛形式局部标准化，并明确流存在和全局失效边界。使用相同机制，但靠缩小邻域和让向量场固定中心点代替全空间紧性。