Lie 群的指数映射 | Codeboy's Blog

形式陈述

一参数子群与指数

设 $G$ 是有限维实 Lie 群， $\mathfrak g=T_eG$ 是它的 Lie 代数。每个 $X\in\mathfrak g$ 唯一确定光滑群同态

\gamma_X:(\mathbb R,+)\longrightarrow G,\qquad \gamma_X(0)=e,\quad \gamma_X'(0)=X.

它称为由 $X$ 生成的一参数子群。定义

\exp_G(X)=\gamma_X(1),\qquad \gamma_X(t)=\exp_G(tX).

于是 $\exp((s+t)X)=\exp(sX)\exp(tX)$ ，但这个等式只是在同一个生成元方向成立。

存在性来自左不变向量场 $\widetilde X(g)=(dL_g)_eX$ 的积分曲线。常微分方程先给出零点附近的唯一解，左平移把短时间解拼接为任意时间的解。唯一性又保证先走 $s$ 再走 $t$ 等于走 $s+t$ 。一般向量场可能有限时间逃逸；这里的完备性用到了左不变性。

在常系数线性微分方程组中，解由矩阵指数给出。对矩阵 Lie 群，这个定义与熟悉的级数一致：

e^{tX}=I+tX+\frac{t^2X^2}{2!}+\cdots, \qquad \frac d{dt}e^{tX}=e^{tX}X.

实矩阵按列应用上述实线性系统；复矩阵则把每列的实部与虚部合成实向量，转成实维数加倍的系统。对 $n\ge1$ ，相同初值问题的唯一性使抽象指数和矩阵指数一致； $n=0$ 时矩阵群只有一点，指数直接给出唯一映射。

直觉

在单位元给定速度 $X$ ，如果始终以群平移后的“同一种速度”前进，一秒后到哪里？指数映射就是这个终点。它连接线性的 Lie 代数和非线性的 Lie 群，但通常只能在原点附近当作坐标，不能把整个群无条件变成一个向量空间。

例子与边界

一个可以算到底的旋转

取

J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\qquad J^2=-I.

将指数级数的偶数次和奇数次分别相加，得到

e^{\theta J}= \left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\cdots\right)I+ \left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\cdots\right)J =\cos\theta\,I+\sin\theta\,J=R(\theta).

在 $(-\pi,\pi)$ 内，不同角度给出不同旋转，且像是去掉 $-I$ 的 $SO(2)$ ；在整个实线上， $\theta$ 与 $\theta+2\pi$ 则重合。圆群指数的核为 $2\pi\mathbb Z$ ，所以这里满射，却不单射。

切空间中的三段角度区间映到圆上同一小弧，说明指数局部可逆而全局具有周期 — 横线中的蓝色区间彼此相差一个周期；每段都映到圆上单位元附近的蓝色弧。

三维中，若单位向量 $u$ 对应反对称矩阵 $K=\widehat u$ ，则 $K^2=uu^{\mathsf T}-I$ 、 $K^3=-K$ 。同样整理级数得到 Rodrigues 公式：

\exp(\theta K)=I+\sin\theta K+(1-\cos\theta)K^2.

作用到 $u$ 上保持不动；作用到垂直于 $u$ 的平面，则成为上面的二维旋转。因此每个三维旋转都可以由轴与角表示为某个指数，不过轴角表示并不唯一，尤其在角度 $0$ 和 $\pi$ 处需要注意。

局部定理不等于全局结论

指数映射在 $0$ 处的微分为恒等映射：对任意 $X$ ，

(d\exp)_0(X)=\left.\frac d{dt}\right|_{t=0}\exp(tX)=X.

逆函数定理因此给出 $0$ 的某个开邻域与 $e$ 的某个开邻域之间的微分同胚。这是一个局部结论；它不宣称所有元素都有对数，也不宣称对数唯一。

在矩阵计算中，主矩阵对数用谱条件指定一个明确分支：输入谱避开闭负实轴，对数谱的虚部落在 $(-\pi,\pi)$ 。旋转跨过角度 $\pi$ 时主值跳变，正好把本页的局部可逆性与全局多值性转成可检查的计算边界。

即使群连通，指数也未必满射。考虑 $SL_2(\mathbb R)$ 中

A=\begin{pmatrix}-2&0\\0&-1/2\end{pmatrix}.

若存在实矩阵 $X$ 使 $e^X=A$ ，则 $X$ 与自己的指数 $A$ 交换。 $A$ 有两个不同实特征值，与它交换的 $2\times2$ 实矩阵只能是对角矩阵。因此 $X=\operatorname{diag}(a,b)$ ，但 $e^X$ 的两个对角元为正，与 $A$ 矛盾。这个例子甚至没有任何实矩阵对数，更不可能有迹零实对数。

$SL_2(\mathbb R)$ 确实连通：极分解把它写成 $Q P$ ，其中 $Q\in SO(2)$ ， $P$ 为正定对称且行列式为 $1$ 的矩阵；两部分均可沿路径连到单位元。因此这个反例不能归咎于不连通。一般连通 Lie 群由指数的小邻域生成，每个元素是有限个指数的乘积，却未必是单个指数。

推论与应用

光滑同态 $F:G\to H$ 满足

F(\exp_GX)=\exp_H((dF)_eX).

证明只需把 $\gamma_X(t)$ 经 $F$ 复合：它成为 $H$ 中初速度为 $(dF)_eX$ 的一参数子群，再用唯一性。这条公式让覆盖、表示和矩阵计算相互转换。

若 $X,Y$ 交换，则 $e^Xe^Y=e^{X+Y}$ ；非交换时通常不成立。BCH 公式计算局部对数中的交换子修正。此处指数来自群结构，不依赖 Riemann 度量；它与以测地线定义的 Riemann 指数只有在适当额外条件下才相同。

参考资料

Pavel Etingof，Lie Groups and Lie Algebras I，§7.1，指数的存在、唯一性、局部可逆与同态相容性。
Alexander Kirillov Jr.，An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras，§3.1，指数映射与矩阵群；本页负特征值反例另以直接矩阵计算验证。

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一个可以算到底的旋转 ​

局部定理不等于全局结论 ​

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