向量空间的基

一组基既要提供足够的方向，也要避免重复提供同一种自由度。只张成时可能有多套坐标，只无关时可能无法到达某些向量。基把两个要求合在一起，才能把抽象向量和一套坐标一一对应。

要使用坐标，还必须分清两个方向：给定系数，按基向量组合出原向量；给定原向量，求出这套系数。张成性保证第二步有解，无关性保证它没有多个答案，因此这两步互为逆操作。

基向量无需垂直、长度无需相等，也没有一组先验正确的基。向量本身固定，而坐标取决于选择；即使只交换两个基向量的顺序，坐标的相应位置也要交换。换一组基可以让特定映射或约束显得简单，但不能改变空间中实际可用的独立自由度。

实平面的标准基为 $(1,0),(0,1)$；$(1,1),(1,-1)$ 也是基，因为任意 $(x,y)$ 都有唯一展开

但在特征为 $2$ 的域上，两个候选向量相同，且除以 $2$ 不合法，所以同样的写法不再给出基。底域是定义的一部分。

在次数至多为 $2$ 的实多项式空间 $P_2(\mathbb{R})$ 中，$1,x,x^2$ 是基，$\mathcal{C}=(1,1+x,x+x^2)$ 也是基。把

先展开右边，得到 $(\alpha +\beta )+(\beta +\gamma )x+\gamma x^2$。从最高次项向下比较：二次项迫使 $\gamma =c$，一次项再迫使 $\beta =b-c$，最后常数项给出 $\alpha =a-b+c$。每一步都确定一个系数，没有余下选择，也没有额外约束，故任意多项式都有且只有一套坐标。

例如 $p=2+3x+4x^2$ 的 $\mathcal{C}$ 坐标列是 $[p{]}_{\mathcal{C}}=(3,-1,4{)}^{\mathsf{T}}$。代回可见 $3-(1+x)+4(x+x^2)=2+3x+4x^2$。这里 $(2,3,4{)}^{\mathsf{T}}$ 是它在基 $(1,x,x^2)$ 下的坐标；两张数表不同，表示的多项式相同。

集合 $\{(1,0),(0,1),(1,1)\}$ 张成实平面，却因第三个向量是前两个之和而不是基。零空间的基是空集；包含零向量的非空集合则不可能无关。无限维多项式空间 $F[x]$ 有 Hamel 基 $1,x,x^2,\dots$，因为每个多项式只含有限项。

Hamel 基不同于允许收敛无穷展开的 Schauder 基或 Hilbert 空间的完备正交系统。Fourier 级数公理库Fourier 级数Fourier series · 傅里叶级数把周期函数投影到整数频率的正交指数基上所得的离散频谱展开。需要指定函数空间和收敛意义，不能把其无穷展开直接当作这里的有限代数坐标。一般向量空间都有 Hamel 基的结论在通常 ZFC 中成立，标准证明使用Zorn 引理公理库佐恩引理Zorn's lemma若偏序集中每条链都有上界，则该偏序集存在极大元。；去掉选择公理后不能无条件援引。

有限维空间中，无关组可以逐次补入尚未被张成的向量，直到张成整个空间；生成组则可逐次删去能由其他向量表示的项。这分别给出基的延拓与抽取。任意两组基元素个数相同，因而能定义维数公理库维数Dimension of a vector space在基存在时，以基的基数度量向量空间的独立方向数。；一般 Hamel 基的基数也与选择无关。

给定基后，只需指定每个基向量的像，就唯一确定一个线性映射公理库线性映射Linear map · Linear transformation保持向量加法和标量乘法的函数。，因为任何输入都有唯一线性展开。有限维时这些像的坐标组成矩阵，换基公理库换基与坐标变换Change of basis · Coordinate transformation用可逆过渡矩阵在不同基之间转换向量坐标与算子矩阵。解释不同矩阵如何描述同一映射；基的延拓也支撑秩–零化度、对偶空间和张量积的常用构造。

代数上合法的基在数值上可能很差。例如两个方向非常接近时，求坐标会放大扰动，这属于条件性公理库问题条件性与条件数Conditioning of a problem · Condition number度量问题真解对输入微扰的局部敏感性，并把这种固有敏感性与算法误差分开。问题。QR 分解公理库QR 分解QR factorization · QR decomposition · Economy-size QR把长方矩阵分解为正交列与上三角因子，并区分经济型表示、数值算法和秩亏边界。提供正交或酉基，使坐标转换在二范数下保持长度；这是额外的数值优点，并非基定义要求正交。