解析函数的谱收敛

对正频率 $k$，将 Fourier 系数积分路径从实轴下移到 $\mathrm{Im}z=-a$。由Cauchy 积分定理公理库Cauchy 积分定理与公式Cauchy integral theorem · Cauchy integral formula全纯函数在可缩闭路上的积分为零，并可由边界积分重建内部值与所有导数。，矩形边界上的积分为零；周期性使两侧竖边抵消，而 $e^{-ikz}$ 多出因子 $e^{-ka}$，积分剩余部分由 $M$ 控制。负频率向上移。路径能移多远，取决于是否先遇到复奇点。

Chebyshev 情形令 $g(w)=f((w+w^{-1})/2)$。椭圆内外邻域的解析性，使 $g$ 在包含闭环域 ${\rho }^{-1}\le |w|\le \rho$ 的开环域上全纯。Laurent 定理公理库Laurent 级数Laurent series · 洛朗级数全纯函数在指定环域上有唯一的双边幂级数展开，其系数由环域内圆周积分确定。给出唯一展开 $g(w)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{c}_n{w}^n$；由 $g(w)=g(w^{-1})$ 及系数唯一性，有 $c_{-n}=c_n$。又由 $|w|=\rho$ 上的系数积分公式，$|c_n|\le M{\rho }^{-n}$ 对 $n\ge 0$ 成立。利用 $T_n((w+w^{-1})/2)=(w^n+w^{-n})/2$，得到 $a_0=c_0$、$a_n=2c_n$（$n\ge 1$）。几何尾和再给出上述截断误差界。

实轴之外的极点怎样决定速度 ​

取 $f(x)=1/(2-x)$，实区间 $[-1,1]$ 上没有奇点。最近实外极点在 $2$，对应椭圆参数 ${\rho }_{\ast }=2+\sqrt{3}$。令 $r=2-\sqrt{3}$，可验证展开

故相邻非零系数之比恒为 $r\approx 0.26795$，每增加一个次数，系数约缩到原来的四分之一。$x=1$ 时所有 $T_n(1)=1$，截断尾部恰为 $2r^{N+1}/[\sqrt{3}(1-r)]$，给出可直接核对的误差。

一般有界解析定理只能对 $\rho <{\rho }_{\ast }$ 直接应用，因为边界碰到极点时 $M$ 无界。这个例子的精确系数仍显示极点位置控制的极限衰减率。

光滑与解析的边界 ​

仅有有限阶导数时，常只能得到代数衰减；即使实轴上无限次可微，也未必在复邻域解析。间断函数的系数衰减更慢，并在跳跃附近出现 Gibbs 现象。应按实际正则性选择误差预期。

微分会给系数乘上 $k$ 或更高次幂。解析函数的几何优势仍在，但导数误差常带次数的代数因子。到舍入误差平台后，继续增加次数可能因微分条件性而使误差反弹。

实际实验应同时看系数尾部、独立检验点误差和离散求解稳定性。系数几何下降支持解析分辨率判断；平台提示有限精度或噪声；代数尾部提示有限光滑度或边界失配。它们是诊断信号，应与方程及边界条件一同解释。