Laurent 级数

Taylor 展开把函数从一个无洞圆盘的边界送回内部。环域有内外两条边界，因而要同时接受两个方向的信息：外圆贡献非负幂，内圆贡献负幂。负幂并非形式上的装饰；在变量 $w=1/(z-a)$ 下，它们本身也是幂级数，适合描述从中心向外看见的行为。

证明可以直接从Cauchy 积分公式公理库Cauchy 积分定理与公式Cauchy integral theorem · Cauchy integral formula全纯函数在可缩闭路上的积分为零，并可由边界积分重建内部值与所有导数。的环域版本开始。固定 $r<{\rho }_{-}<|z-a|<{\rho }_{+}<R$，两圆都按逆时针积分，则

这条公式不需要预先调用留数定理。先挖去以 $z$ 为中心、完全位于两圆之间的小圆盘，再用两条互不相交的分段光滑简单弧，分别把小圆边界连接到内圆和外圆。沿两弧切去窄通道，三个边界便连通起来，剩余区域单连通，可以对核函数 $f(\zeta )/(\zeta -z)$ 使用 Cauchy 定理。固定小圆半径，让通道宽度趋于零：每条切弧两侧的积分趋于沿同一弧、方向相反的积分，因而抵消，连接端点的短弧贡献也趋于零。随后让小圆半径趋于零，其逆时针积分趋于 $2\pi if(z)$。内边界相对于环域的正向是顺时针，所以用逆时针记号时必须带负号。

外圆与内圆上的核分别展开为

若 $z$ 限在 $r^{\prime }\le |z-a|\le R^{\prime }$，先选 ${\rho }_{-}<r^{\prime }$、$R^{\prime }<{\rho }_{+}$，这两个几何级数的比分别至多为 $R^{\prime }/{\rho }_{+}<1$ 和 ${\rho }_{-}/r^{\prime }<1$，故可一致地逐项积分。令两圆上的最大模为 $M_{+},M_{-}$，所得项分别满足

两条几何界同时给出紧子环域上的一致绝对收敛。系数积分与半径无关，是因为其被积函数在两条候选圆之间全纯，切缝后应用 Cauchy 定理即可。最后，将任一这样的展开乘以 $(z-a{)}^{-k-1}$，沿环域中的圆逐项积分，除指数为 $-1$ 的项外都为零，只剩 $2\pi i{c}_k$；系数公式也就证明了唯一性。

取 $H(z)=1/[z(z-1)]$，中心固定为 $0$。先作部分分式分解：

在 $0<|z|<1$ 内，$1/(z-1)=-1/(1-z)=-\sum _{n\ge 0}{z}^n$，所以

在 $|z|>1$ 内，改用小量 $1/z$，得

两个结果都正确，因为它们属于不同环域。半径 $1$ 上有奇点 $z=1$，没有一个以 $0$ 为中心、跨过该圆的全纯环域可以把两套系数合为一套。

图中虚线是经过奇点 $1$ 的分界圆，实线是两条逆时针积分路径。半径 $1/2$ 的圆只测得 $c_{-1}=-1$；半径 $2$ 的圆测得 $c_{-1}=0$。外环域的零系数不表示原点没有奇性，它记录的是另一条圆周的整体积分。

若 $f$ 能全纯延拓到整个圆盘 $|z-a|<R$，则系数公式中的负幂系数全部为零，Laurent 展开退化为 Taylor 展开。反过来，若主部为零，非负幂级数就在整个圆盘 $|z-a|<R$ 上给出 $f$ 的全纯延拓。在 $r=0$ 的去心圆盘情形，这等价于中心是可去奇点；在一般 $r>0$ 的环域里，内圆盘并不属于原来的定义域，不能直接谈原函数在中心的孤立奇点。

留数定理公理库留数定理Residue theorem闭曲线积分等于各孤立奇点的局部留数按绕数加权之和的 $2\pi i$ 倍。读取的 $\mathrm{Res}(f,a)$，是以孤立奇点 $a$ 为中心的足够小去心圆盘展开中的 $c_{-1}$。上例在 $0$ 处的局部留数是 $-1$；在 $1$ 处把 $H$ 乘以 $z-1$ 再取极限，得到留数 $1$。大圆同时围住两点，积分为 $2\pi i(-1+1)=0$，恰与外环域的系数一致。因此“Laurent 系数可由圆周积分读取”与“留数是局部量”并不矛盾，关键在于圆周属于哪个环域。

去心圆盘中的主部还区分孤立奇点：主部全零时可去；只有有限个非零负幂项且最低出现指数为 $-m$ 时为 $m$ 阶极点；有无穷多个非零负幂时为本性奇点。例如 $e^{1/z}=\sum _{n\ge 0}{z}^{-n}/n!$ 有无穷主部，但读取 $z^{-1}$ 项仍只得到 $1$。留数能控制闭路积分，却不能独自还原奇点类型：$1/z^2$ 的留数为零，原点仍是二阶极点。