线性无关

线性无关回答“这些生成材料有没有可删掉的冗余”。若某个向量已经能由其余向量合成，加入它并没有扩大能够表示的对象集合，却使同一个向量可能有多套系数。

为什么定义只检验能否凑出零？如果同一目标有两套系数，两种表达式相减，就会得到一条非平凡的零关系。反过来，有了零关系，就可以把它加到任意一套表示上，保持目标不变而改掉系数。零向量因此把所有目标的表示歧义集中在同一个检验中。

无关性也不要求垂直。二维平面中两条很接近但不重合的方向仍线性无关；角度很小会影响数值计算的稳定性，却不会改变精确代数定义。判断时应寻找系数关系，而不能只凭图形看起来是否接近。

两两独立还不够 ​

在 ${\mathbb{R}}^3$ 中取 $u=(1,0,0)$、$v=(0,1,0)$、$w=(1,1,0)$。任意两个都不是彼此的倍数，所以任意二元子族无关；但三者满足 $u+v-w=0$，整个向量组相关。这个关系如何造成歧义，可以直接算出： $au+bv+cw=(a+c,b+c,0).$ 若目标为 $(2,3,0)$，令 $c=t$，便必须取 $a=2-t,b=3-t$。于是 $(a,b,c)=(2,3,0)$ 与 $(1,2,1)$ 给出同一目标，而且任意实数 $t$ 都给出一种表示。冗余不是第三个方向“看着重复”，而是它能被另外两个方向精确替代。检查所有二元组不能代替检查整族。

相反，$(1,1)$ 与 $(1,-1)$ 在实数域上无关：若 $a(1,1)+b(1,-1)=0$，两坐标给出 $a+b=0$、$a-b=0$，从而 $a=b=0$。在特征为 $2$ 的域上，$-1=1$，这两个向量相同，结论便失败。

底域和零向量必须明确 ​

把 $\mathbb{C}$ 看作实向量空间时，$1,i$ 无关，因为 $a+bi=0$、$a,b\in \mathbb{R}$ 迫使实部和虚部都为零。把同一底层集合看作复向量空间后，$i\cdot 1-1\cdot i=0$ 就是非平凡关系。改变允许的标量会改变无关性。

任何包含零向量的族都相关，因为取该位置系数 $1$、其余系数零即可。空族则无关；它没有非平凡有限关系。对无限族，所有有限子族无关就足够，不需要再检查无穷级数；后者属于额外的拓扑或收敛结构。

无关性正好控制张成空间内表示的唯一性。如果 $\sum a_i{v}_i=\sum b_i{v}_i$，相减得到 $\sum (a_i-b_i)v_i=0$；无关性于是迫使每个 $a_i=b_i$。同时张成整个空间的无关族就是基公理库向量空间的基Basis of a vector space同时线性无关并张成整个向量空间的向量组。。

对已经给出有限维坐标的有限向量组，把各向量排成矩阵 $A$ 的列，方程 $Ac=0$ 就是在询问它们是否有非平凡关系。在支持精确域运算的表示中，行化简公理库行化简Row reduction用初等行变换把矩阵化为阶梯形以求解线性方程组和判定秩。将它化为 RREF：每一列都有主元恰好意味着没有自由变量，也就是这些向量线性无关。这个判定过程针对有限坐标输入；无限族仍按定义逐个有限子族讨论。有限维空间中，无关组可以延拓为基，且其长度不超过任何张成组的长度。

浮点计算只能在容差下判断“接近相关”。奇异值分解公理库奇异值分解Singular value decomposition · SVD任意有限维线性映射都可在正交规范基下表示为非负对角伸缩。通过小奇异值度量这一接近程度；它解释数值秩，不能把某个软件阈值改写成数学上的无关定义。只记录哪些列子集无关，则得到可表示拟阵公理库可表示拟阵Representable matroid · Linear matroid能由某个域上矩阵列向量的线性无关关系实现的拟阵。。