线性子空间

子空间保留一组可以自由叠加、缩放的方向。例如三维空间里限制运动只能沿某个过原点平面进行，两次允许的位移相加后仍是允许的位移，这个平面便可独立承载线性运算。

在平面里，过原点的直线是子空间：沿同一个方向叠加、反向、伸缩，结果仍在直线上。两条不同的过原点直线合在一起却会失去封闭性，下面的坐标轴例子展示了原因。对子空间的检验同样适用于多项式、函数和矩阵。

从方程得到子空间 ​

在 ${\mathbb{R}}^3$ 中，令 $W=\{(x,y,z):x+y+z=0\}$。若 $u,v$ 的坐标和都是零，则 $au+bv$ 的坐标和为 $a\cdot 0+b\cdot 0=0$，故 $W$ 是子空间。进一步解出 $z=-x-y$，可得

这不仅验证了封闭性，还给出生成这张平面的两个方向。一般齐次方程 $Ax=0$ 也如此，因为 $A(au+bv)=aAu+bAv=0$。

把右端改成 $1$ 后，平面 $x+y+z=1$ 不含零向量，因而不是子空间。若非齐次方程 $Ax=b$ 有一个解 $x_0$，全部解构成 $x_0+\ker A$；它是子空间的平移，称为仿射子空间。

子空间的交与并 ​

任意子空间族的交仍是子空间：零向量属于每一个成员，交中的向量做线性组合后也仍属于每一个成员。相反，$x$ 轴与 $y$ 轴的并包含 $(1,0)$ 和 $(0,1)$，却不包含它们的和 $(1,1)$。

两个子空间 $U,W$ 的并是子空间，当且仅当其中一个包含另一个。若互不包含，取 $u\in U\setminus W$、$w\in W\setminus U$；假如 $u+w\in U$，减去 $u$ 就会推出 $w\in U$，矛盾；落在 $W$ 中同理不可能。

给定任意向量集合，所有包含它的子空间之交就是它的张成公理库线性组合与张成Linear combination and span有限标量加权和及由给定向量生成的最小子空间。；这解释了“最小子空间”的含义。线性映射的核与像公理库线性映射的核与像Kernel and image · Null space and range分别记录被线性映射压到零的方向与实际能够到达的向量集合。都是子空间，分别记录被压成零的方向和能够到达的方向。

若希望把整个子空间内的差异视为零，可以构造商向量空间公理库商向量空间Quotient vector space按子空间诱导的陪集等价关系取商并继承向量运算的空间。。若希望保留这些方向并把其余方向分开，则可寻找补空间；两种构造分别对应消除自由度与分解自由度。