表面码的环面模型与错误链

形式陈述

本页先固定环面周期模型，不把它与有边界的平面补丁混用。取整数 $L\ge3$ ，把一个 $L\times L$ 方格的左右边、上下边分别粘合；所有行列下标按模 $L$ 计算。每条边放一个qubit，共 $n=2L^2$ 个。

记水平边 $h_{r,c}$ 连接顶点 $(r,c)$ 与 $(r,c+1)$ ，竖直边 $v_{r,c}$ 连接 $(r,c)$ 与 $(r+1,c)$ 。定义星检查和面检查：

A_{r,c}=X_{h_{r,c}}X_{h_{r,c-1}}X_{v_{r,c}}X_{v_{r-1,c}},

B_{r,c}=Z_{h_{r,c}}Z_{v_{r,c+1}}Z_{h_{r+1,c}}Z_{v_{r,c}}.

所有检查的共同 $+1$ 本征空间是一个CSS码。任意星与任意面重叠0或2条边，所以对易。它编码两个逻辑qubit，距离为 $L$ ，参数为

[\![2L^2,2,L]\!].

它通常称为环面码（toric code），是表面码家族的一员。有粗糙/光滑边界的常见平面补丁可以编码一个逻辑qubit，检查和计数需另作处理。[1, §1；2, §III]

直觉

一个 $Z$ 错误链只会使端点处的星检查变号：链经过的内部顶点接触两条错误边，两个反对易符号抵消。于是综合告诉我们“端点在哪里”，却没有告诉我们错误究竟沿哪条路径走过。

两条同端点路径相乘，会变成闭环。能缩成面边界之和的闭环只是稳定子；绕环面一圈的闭环却可能改变逻辑信息。纠错的目标因此不只是把端点消掉，还要避免补出错误的绕行类别。

图中相对边是同一物理边的两份画法；为避免把一个错误画成两次，只在上侧边界着色。上侧画出的三个红点中，左、右边界点代表同一个顶点，因此实际缺陷只有两个。

例子与边界

全部 $L^2$ 个星检查相乘为 $I$ ，因为每条边出现两次。除此之外没有别的星关系：若选出一些顶点，使其星的乘积为 $I$ ，每条边的两端必须同时被选或同时未选。底层图是连通的，因而只能选全部顶点或一个也不选。

所以星检查秩为 $L^2-1$ 。对偶格同样连通，相同论证给面检查秩 $L^2-1$ 。两类分别位于Pauli二元表示的 $X/Z$ 坐标，不产生额外混合关系。故

k=2L^2-(L^2-1)-(L^2-1)=2.

例如 $L=3$ 时有18个物理qubit、8条独立星检查和8条独立面检查，留下两个逻辑qubit，即4维码空间。画成平面正方形时，边界上的重复画法表示同一物理边，不能再重复计数。

可以取两条沿原格的逻辑 $Z$ 环：

\overline Z_1=\prod_{c=0}^{L-1}Z_{h_{0,c}},\qquad \overline Z_2=\prod_{r=0}^{L-1}Z_{v_{r,0}}.

对应的逻辑 $X$ 沿对偶格绕行，写成所穿过的原格边为

\overline X_1=\prod_{r=0}^{L-1}X_{h_{r,0}},\qquad \overline X_2=\prod_{c=0}^{L-1}X_{v_{0,c}}.

每一对 $\overline X_i,\overline Z_i$ 恰交一条边，所以反对易；不同逻辑编号之间对易。它们又与全部检查对易，因而确实是两组逻辑Pauli，不是产生综合的普通局部错误。

这些逻辑环重量都是 $L$ 。反过来，少于 $L$ 条边组成的闭环不可能在任一周期方向绕满一圈；把可收缩闭环逐面填满，即可写成面稳定子的乘积。对偶环也一样。因此任何重量小于 $L$ 、综合为零的Pauli都只具有稳定子作用，距离恰为 $L$ 。判断这里的作用时忽略整体相位。

令 $L=3$ ，实际错误为

E=Z_{h_{0,0}}.

它使星 $(0,0),(0,1)$ 变号，其余检查不变。如果恢复选择

R=Z_{h_{0,1}}Z_{h_{0,2}},

两条恢复边经周期粘合也连接同样的端点，故有相同综合。然而

RE=Z_{h_{0,0}}Z_{h_{0,1}}Z_{h_{0,2}}=\overline Z_1.

所有检查恢复成 $+1$ ，逻辑第一位却受到 $Z$ 。这个例子说明仅消除综合不够；并不是说最小重量译码器会在此例偏好两边而放弃明显更短的一边。

若另一条恢复路径与正确路径只围出一个或若干面，乘积就是对应 $B_{r,c}$ ，两种恢复在码空间上等效。路径可以有很多，真正重要的是它们之差的逻辑类别。

推论与应用

环面没有边界，错误链端点成对出现。平面表面码可安排两类边界： $Z$ 链能在粗糙边界终止而不留下被测星缺陷；对偶 $X$ 链则能在光滑边界终止。常见矩形补丁用两段粗糙、两段光滑边界，逻辑算子连接对应的两侧。

例如文献 [2, Fig.5] 的未旋转距离 $L$ 平面补丁有 $L^2+(L-1)^2$ 个物理边qubit，两类检查各 $L(L-1)$ 条且独立，因此

k=L^2+(L-1)^2-2L(L-1)=1.

这组公式属于该明确边界布局；旋转补丁、带孔区域或不同边界安排不应直接套用。把环面图剪开后简单删几条线，也不能不核对边界检查就宣布得到了这个平面码。

本页的链分析先假设综合测量准确。如果检查本身会读错，一次时刻的缺陷位置不足以区分数据错误和测量错误；需要比较多个时刻，把缺陷变化组织成时空记录，再分析具体测量电路的故障传播。[2, §III.C]

所以“检查重量局部且码距随 $L$ 增长”是重要结构，但还不是某个噪声模型下的数值阈值。译码算法、相关故障、门安排和测量轮数都会影响容错结论，不能从图上读出一个普适阈值百分比。

参考资料

[1] A. Yu. Kitaev, Fault-Tolerant Quantum Computation by Anyons, 1997作者版，§1：环面码、两条检查关系、逻辑绕行与距离。
[2] Eric Dennis, Alexei Kitaev, Andrew Landahl and John Preskill, Topological Quantum Memory, 2001作者版，§III.A–C，尤其 Fig.5 的平面边界与 qubit/检查计数。