子系统量子码与规范自由度

形式陈述

以下空间均为有限维，逻辑与规范因子非零。子系统码不要求恢复整个码子空间里的每一个自由度，而是指定

\mathcal H_{\mathrm{phys}}=(\mathcal H_L\otimes\mathcal H_G)\oplus\mathcal H_\perp.

其中 $L$ 是要保护的逻辑系统， $G$ 是允许变化的规范系统。这里的张量因子是编码后子空间的抽象分解，不一定对应某几颗物理qubit。即使逻辑系统与外部参考纠缠，恢复也应保持该逻辑信息；规范态则不必回到原样。

令 $P$ 为到 $\mathcal H_L\otimes\mathcal H_G$ 的正交投影，噪声 CPTP 信道的 Kraus 算子为 $E_a$ 。保护逻辑因子的充要条件可写为

P E_a^\dagger E_b P=I_L\otimes M_{ab},\qquad\text{在码子空间上}. \tag{1}

这把普通Knill–Laflamme条件中的标量放宽为规范系统上的算子。当 $\dim\mathcal H_G=1$ 时，式 (1) 退回通常的子空间纠错。[1, Theorem 3.5]

在Pauli子系统码中，用可能不对易的规范群 $\mathcal G$ 描述 $G$ 上的操作；其中心中选定的一组对易Hermitian检查生成稳定子 $\mathcal S$ ，且不含 $-I$ 。它的共同 $+1$ 空间仍是稳定子子空间，但其中若干自由度被指定为规范而不承载逻辑信息。整体Pauli相位在二元秩计数中商去。

直觉

设想把一本重要文稿和一叠草稿放进同一个编码系统。恢复任务可以要求文稿完整，却允许草稿被改写。子系统码就是把“哪些信息一定要保住”写进张量结构，而不是强迫全部编码自由度都保持不变。

好处可能是检查更简单：可以先测量几个低重量、彼此不全部对易的规范可观察量，再从某些对易组的乘积读出稳定子。测量扰动落在规范因子中，逻辑因子仍受保护。

左侧九个qubit排成三乘三，水平XX与竖直ZZ为重量二规范生成元；右侧一列X与一行Z形成逻辑Pauli，黑点标出二者唯一的重叠位置。

右图黑点同时承载逻辑 $\overline X$ 与 $\overline Z$ 的支撑；它不是另加的一次 $Y$ 门。

例子与边界

九qubit的规范生成元

把qubit标为 $(r,c)$ ， $r,c\in\{0,1,2\}$ 。本页采用水平 $XX$ 、竖直 $ZZ$ 的约定：

g^X_{r,c}=X_{r,c}X_{r,c+1}\quad(c=0,1),

g^Z_{r,c}=Z_{r,c}Z_{r+1,c}\quad(r=0,1).

每类有6个生成元。与原始文献 [2] 的水平/竖直记法相比，可通过交换行列得到同一结构。

某些规范生成元反对易。例如 $g^X_{0,0}$ 与 $g^Z_{0,0}$ 只重叠qubit $(0,0)$ ，所以不能把全部12条都当作同时取 $+1$ 的稳定子。那样会试图要求两个反对易可观察量具有共同本征态，根本不存在。

中心里的四条稳定子

取每个相邻列对上的三个水平规范检查之积，以及每个相邻行对上的三个竖直规范检查之积：

S^X_c=\prod_{r=0}^2g^X_{r,c}\quad(c=0,1),\qquad S^Z_r=\prod_{c=0}^2g^Z_{r,c}\quad(r=0,1).

每条重量6。任意 $S^X_c$ 与一个竖直 $ZZ$ 规范检查重叠0或2位； $S^Z_r$ 与水平 $XX$ 同理。因此四条检查与整个规范群对易。

为什么中心没有更多独立二元生成元？每行的水平 $XX$ 生成全部偶重量 $X$ 模式，总计6维。要进一步与所有竖直 $ZZ$ 对易，每一列的 $X$ 位必须在三行相同，且选中的列数为偶数，留下2维。 $Z$ 侧对称地留下2维。于是规范群二元秩为12，中心稳定子秩为4。

商去中心后，剩余8个独立Pauli方向可配成4组反对易对，所以有4个规范qubit。稳定子子空间总共包含 $9-4=5$ 个qubit自由度，扣除4个规范qubit，留下1个逻辑qubit：

n=9,\qquad r_G=4,\qquad k=1.

逻辑算子怎样避开规范扰动

取

\overline X=X_{0,0}X_{1,0}X_{2,0},\qquad \overline Z=Z_{0,0}Z_{0,1}Z_{0,2}.

整列 $X$ 与任意竖直 $ZZ$ 重叠0或2位，整行 $Z$ 与任意水平 $XX$ 也如此，因此它们与全部规范生成元对易。两条逻辑算子只在 $(0,0)$ 相交，故彼此反对易，形成受保护逻辑qubit的Pauli。

例如在码空间上施 $g^X_{0,0}$ ，可能改变规范态，却不改变任何逻辑可观察量。若把这次变化强行称作“必须恢复的逻辑错误”，就丢掉了子系统编码允许的自由度。

更一般地，对Pauli错误，综合为零但属于规范群的操作在逻辑上平凡；综合为零且不属于规范群的操作才可能是带规范作用的逻辑错误。这与普通稳定子码只商去稳定子的判定不同。

推论与应用

怎样测量不全部对易的规范检查

先测量全部水平 $XX$ ：它们两两对易。在固定 $c$ 上，把三个结果相乘，得到 $S^X_c$ 的本征值。再测量全部竖直 $ZZ$ ，其结果按固定 $r$ 相乘给 $S^Z_r$ 。

第二组测量可能改变第一组某些单独规范检查的本征值，却不会改变已经读出的中心稳定子本征值，因为每个规范生成元都与中心对易。因此不应把前后两组的全部12个单独读数，当成同一时刻同时存在的固定状态描述。

理想规范测量在码子空间上形如 $I_L\otimes$ 规范测量，所以即使丢弃结果，逻辑系统及其与外部参考的关系仍不受损。真实测量电路若会故障，还须分析数据传播、读数错误和重复轮次；重量2本身并不能推出容错阈值。

式(1)为何是合理的恢复条件

对逻辑基 $|i\rangle_L$ 与规范基 $|\mu\rangle_G$ ，式 (1) 等价于

\langle i,\mu|E_a^\dagger E_b|j,\nu\rangle =\delta_{ij}(M_{ab})_{\mu\nu}.

噪声可以通过这些重叠了解规范状态，却无法区分逻辑基，也不能把不同逻辑标签混在同一错误像里。把“误差编号、规范编号”合并成辅助指标，用谱定理对其重叠矩阵对角化，可构造一个恢复等距映射：把共同的误差/规范结构搬到辅助系统，而把逻辑指标 $i$ 保留下来。这个论证是子系统版纠错条件的核心。

要求适用于所有规范态很重要。只对某一个固定规范初态验证普通子空间条件，并不能自动保证规范被前一轮测量改变后还能继续使用同一恢复接口。

参考资料

[1] David W. Kribs, Raymond Laflamme, David Poulin and Maia Lesosky, Operator Quantum Error Correction, 2005，Definition 3.1、Theorem 3.5：保护张量因子的纠错定义与矩阵单位条件；本页交换因子顺序后写成式 (1)。
[2] Dave Bacon, Operator Quantum Error Correcting Subsystems for Self-Correcting Quantum Memories, 2005，§IV.A–B：格点Pauli群、中心稳定子、规范与逻辑张量分解。

形式陈述 ​

九qubit的规范生成元 ​

中心里的四条稳定子 ​

逻辑算子怎样避开规范扰动 ​

怎样测量不全部对易的规范检查 ​