魔术态注入与门传态

量子传态公理库量子传态Quantum teleportation · 量子隐形传态以预共享 Bell 对和两位经典消息传输未知 qubit 状态，逐分支证明校正，并计算消息到达前的最大混合态。说明，辅助纠缠、测量与结果相关的修正可以改变信息的承载方式。门传态进一步把一个门预先放进辅助资源，让测量后的修正把它转移到数据上。

这里使用的是压缩的一比特注入变体，不要求数据真的搬到另一条线。魔术态中储存的相对相位 $\omega$ 被CNOT和测量接到数据的两个振幅之间；测量决定得到正向还是反向相位，$S$ 前馈把两者统一。

两个分支完整算一遍 ​

令 $|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$。数据在前、辅助在后，CNOT之后为

测得 $m=0$ 时，未归一化数据态为

测得 $m=1$ 时为

由于 $S{T}^{†}=T$，第二支施 $S$ 后得到 $\omega T|\psi ⟩/\sqrt{2}$；整体相位 $\omega$ 不影响状态。两支范数平方都为 $1/2$，与输入振幅无关。

把相应线性算子写成 $K_0=T/\sqrt{2}$、$K_1=\omega T^{†}/\sqrt{2}$，就能看出论证不只对纯单qubit有效：数据与外部参考纠缠时，修正后的每个分支仍为常数乘 $I_R\otimes T$，参考关系被完整保留。

漏掉前馈会怎样 ​

以 $|+⟩$ 为输入。正确输出为 $|A⟩$，其Bloch向量为 $(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0)$。若忽略 $m$ 且不作 $S$ 修正，输出是 $T|+⟩$ 与 $T^{†}|+⟩$ 的等权混合，$Y$ 分量相互抵消，变为 $(1/\sqrt{2},0,0)$。

这不是“只是没有记录一个无关经典位”，而是实际输出通道变了。前馈也不能把CNOT控制端和目标端任意互换；另一接线可能同样实现某种门传态，但必须重新计算测量基和修正门。

辅助上的Z错误如何进入数据 ​

若资源实际为 $Z|A⟩=(|0⟩-\omega |1⟩)/\sqrt{2}$，同样逐支计算可得：经过上述 $S$ 修正后，数据输出为 $ZT|\psi ⟩$，允许分支整体相位。

因此对相位翻转混合

完整注入通道为

辅助错误不会因“注入成功率为1”而消失；这里成功率指门的随机分支可修正，保真度仍由资源质量限制。

为什么A态确实提供了额外资源 ​

单qubit纯稳定子态是 $X,Y,Z$ 的正负本征态，Bloch向量位于六个坐标轴方向。$|A⟩$ 的两个非零分量均为 $1/\sqrt{2}$，不是其中之一。

所以“Clifford门加测量可以实现非Clifford门”没有推翻稳定子模拟定理：输入资源已经不属于纯稳定子设置。注入把难制备的非Clifford操作转化为可提前准备、筛选和改进的辅助态资源。

一般资源误差的迹距离保证 ​

设实际辅助态为 ${\sigma }_A$，并假设它与输入数据及外部参考系统初始为乘积态。若

把CNOT、测量、读取结果、施 $S$ 和丢弃辅助统一看作一个CPTP映射。对任意带参考的数据输入，张量上相同的数据态不改变资源间迹距离公理库迹距离Trace distance · Quantum trace distance迹距离是两个密度算子之差的迹范数的一半，恰好刻画单份量子态在最优测量下的可区分程度。，CPTP映射又不增大它。因此实际注入输出与理想 $T$ 输出的迹距离至多 $\delta$。

这个结论包含全部测量分支并完成前馈。若另行只保留某个事件并重新归一化，条件化可能放大误差，不能不计接受概率就套同一个界。多个注入若使用相互独立、与数据无先验相关的资源，逐步替换和三角不等式可把各次误差相加；有跨资源相关性时，需要对联合资源另给保证。

本电路消耗一份魔术态、一个CNOT、一次单qubit测量和至多一个 $S$，量子门数为常数；资源制备成本没有包括在这个在线计数里。魔术态蒸馏公理库魔术态蒸馏Magic-state distillation从十五qubit CSS码构造十五到一魔术态蒸馏，推导接受率与条件输出误差的精确多项式，并用同边际相关噪声反例展示独立性条件的重要性。正是用多份不完美资源换取较少高质量资源的方法。