魔术态蒸馏

蒸馏不试图从一份未知资源中直接检查“它是不是正确魔术态”。它让15份资源分别作用于一个编码块，再检查它们留下的错误综合。

一两个独立相位错误总会被发现并丢弃；最小能漏过检查的逻辑错误需要三份资源一起出错。因此接受样本中的错误从一阶降到三阶。付出的代价是消耗15份输入，并且部分批次完全没有输出。

指定十五qubit码，避免把T门当作免费操作 ​

用所有非零 $x\in {\mathbb{F}}_2^4$ 标记15个物理位置，令 $H$ 的列就是这些 $x$。记 $D=\mathrm{row}H$，$G=\mathrm{span}(D,\mathbf{1})$，其中 $\mathbf{1}$ 是全1向量。

$D$ 维数4，每个非零码字重量8；因为一个非零线性函数在16个四位输入上恰有8次取1，而删掉的零输入本来取0。$\mathbf{1}\notin D$，所以 $G$ 维数5。

取 $D$ 的4条基向量作 $X$ 检查，取 $G^{\perp }$ 的10条基向量作 $Z$ 检查。由于 $D\subseteq G$，两类正交，编码 $15-4-10=1$ 个逻辑qubit。可选逻辑基为

前者基向量重量为0或8，后者为15或7。因此 $T^{\otimes 15}$ 在前者上相位为1，在后者上相位统一为 $e^{-i\pi /4}$，实现逻辑 $T^{†}$。

先用Clifford电路准备稳定子态 $|{+}_L⟩$，再用15份资源分别注入15个物理 $T$。这里并没有直接调用免费的非Clifford门。完美输入时得到逻辑 $T^{†}|{+}_L⟩$；最后解码并施 $S$，才得到所需的 $|A⟩$。[2, §13.5.1]

接受与逻辑错误的二元判据 ​

每份坏资源在注入后留下对应位置的 $Z$，所以令 $e\in {\mathbb{F}}_2^{15}$ 表示独立错误位。测量4条 $X$ 检查，恰在

时接受。所有 $Z$ 检查与这些错误对易，而且理想横向 $T$ 保持码空间，因此无需再假设一个未说明的 $Z$ 综合筛选。

接受后，$Z^e$ 是稳定子当且仅当 $e\in G^{\perp }$。由于 $G$ 比 $D$ 多一条全1方向，

故接受后的逻辑 $Z$ 错误恰对应奇重量 $e$。Clifford解码与最后的 $S$ 不改变这项错误分类。

为什么首项是35p立方 ​

$H$ 无零列且列互异，重量1、2错误都不可能满足 $He=0$。重量3模式则在三列 $x,y,z$ 满足 $x+y+z=0$ 时接受。

任选两个不同非零列 $x,y$，第三列唯一为 $x+y$，且非零、与前两者不同。每个无序三元组被有序对数了6次，因此三错逻辑模式数为

例如列标号 $0001,0010,0011$ 的三处相位错误综合为零，重量为奇数，正是一个漏检逻辑 $Z$。小 $p$ 时，这35种模式贡献 $35p^3(1-p{)}^{12}$；其他奇重量接受模式为更高阶，接受率又趋于1，故条件误差首项为 $35p^3$。

精确接受率怎样求 ​

将比特 $a_j$ 编码为符号 $(-1{)}^{a_j}$，使用二元 Walsh 字符公理库Fourier–Walsh 展开与影响度Fourier-Walsh expansion · Boolean Fourier analysis在均匀布尔立方体上用字符正交基展开函数，把方差和坐标影响写成 Fourier 系数的平方和。的正交恒等式

相位错误位按独立性公理库独立性Statistical independence从概率表理解独立性，区分两两、相互和条件独立，并用可计算反例澄清零协方差与条件均值的限度。使乘积期望分解，单个伯努利错误满足 $\mathbb{E}(-1{)}^{e_j}=1-2p=t$。$a=0$ 给1，其余15个 $a$ 对应重量8的向量 $aH$，各给 $t^8$，于是得到式 (1)。

要区分接受中的奇偶，再计算

因为把 $aH$ 与全1向量相加后，重量由0、8变为15、7。左侧等于“偶重量接受概率减奇重量接受概率”。与式 (1) 联立，奇重量接受概率为

再除以 $P_{\mathrm{acc}}$，按条件概率公理库条件概率Conditional probability在已知正概率事件发生后，把交集概率重新规范到该事件内部。定义即得式 (2)。省略这次除法，会把未归一化错误质量误报为输出错误率。

数值、消耗和不能跨越的条件 ​

当 $p=0.01$ 时，

若不同批次独立重复，每得到一个接受输出，平均消耗 $15/P_{\mathrm{acc}}\approx 17.4400$ 份输入，而不是恰好15份。对 $p=0.14$，输出约0.13715，仍稍有改进；对 $p=0.15$，输出约0.16749，反而更差。此协议的非平凡不动点约为0.141，三阶渐近式不能拿到任意大 $p$ 上使用。[1, eqs.35–38]

相关噪声可以彻底改变结论。取 $0<p\le 1/5$：以概率 $5p$ 从上述35个三错模式中均匀选一个，以剩余概率不出错。每个位置在35个模式中出现7次，所以每份资源的边际错误概率仍为

但这些批次全部综合为零，接受率为1，输出逻辑错误概率却是 $5p$，没有三次方抑制。独立输入条件因此是实质假设，不是可省略的技术修饰。

每批处理固定15个qubit和固定数量检查，理想电路规模为常数；多层蒸馏则要递归统计接受率、输入工厂和存储成本。若要维持下一层的独立输入假设，应使用独立资源批次，并单独控制跨批次噪声。

蒸馏只使用稳定子操作处理资源，与稳定子电路可模拟性公理库Gottesman–Knill 定理与稳定子模拟Gottesman–Knill theorem · Stabilizer tableau simulation用带相位的稳定子tableau逐门模拟Clifford电路，展开随机与确定Pauli测量更新，并明确存储、消元和采样的资源界。相容；额外计算资源依旧来自非稳定子输入。物理Clifford门若也有残余逻辑错误，最终输出还会有相应噪声底，不能无限套用仅含资源相位错误的式 (2)。