sl₂ 的有限维不可约表示

形式陈述

固定复 Lie 代数 $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$ 的标准基 $e,f,h$ ，满足

[h,e]=2e,\qquad [h,f]=-2f,\qquad [e,f]=h.

在一个表示中，以 $E,F,H$ 记三个作用算子。有限维不可约分类定理断言：每个非零有限维复不可约表示，都与唯一一个

V_n=\operatorname{Sym}^n(\mathbb C^2),\qquad n\in\mathbb Z_{\geq0},

同构。这里 $V_n$ 是次数为 $n$ 的齐次多项式空间，在基 $v_k=X^{n-k}Y^k$ 上，

Ev_k=kv_{k-1},\qquad Fv_k=(n-k)v_{k+1},\qquad Hv_k=(n-2k)v_k.

端点以外的项取零， $\dim V_n=n+1$ 。这些公式和每个 $V_n$ 的不可约性已在表示定义页证明；本页证明没有遗漏其他有限维复不可约表示。

更具体地，每个这样的表示都有非零向量 $w_0$ ，满足

Ew_0=0,\qquad Hw_0=nw_0.

称 $w_0$ 为最高权向量， $n$ 为最高权。向量

w_k=F^kw_0,\qquad 0\leq k\leq n

组成一组基，其作用公式是

Fw_k=w_{k+1},\qquad Hw_k=(n-2k)w_k,\qquad Ew_k=k(n-k+1)w_{k-1},

其中 $w_{n+1}=0$ 。这是另一种基的归一化，不能把其中 $E,F$ 的系数与多项式基的系数混用。

直觉

$H$ 测量权， $E$ 把权提高 $2$ ， $F$ 把权降低 $2$ 。有限维空间只有有限多个特征值，向上移动必有终点；从终点向下又必在有限步后停止。交换子 $[E,F]=H$ 将这两个端点联系起来，迫使顶部特征值恰好等于向下的步数。因此非负整数最高权是推导出来的约束。

证明不能一开始假定 $H$ 可对角化。任意复矩阵虽有特征向量，却未必有特征向量基；下面先选一个顶部特征向量，再由不可约性证明它生成整个表示。这之后，所构造的权向量基才证明 $H$ 在这个表示中可对角化。

从有限谱中找到最高权向量

设 $V$ 是非零有限维复不可约表示。 $H$ 有非空有限特征值集合。从任意特征值出发，依次考察 $\lambda,\lambda+2,\lambda+4,\ldots$ ；有限性保证能选到一个特征值 $\lambda$ ，使 $\lambda+2$ 不是特征值。取非零 $w_0$ 满足 $Hw_0=\lambda w_0$ 。

由 $HE=EH+2E$ ，

H(Ew_0)=(\lambda+2)Ew_0.

若 $Ew_0\ne0$ ，它会给出不存在的特征值 $\lambda+2$ ，故 $Ew_0=0$ 。这一步不需要对复数规定“最大值”，只使用加 $2$ 的链和有限性。

向下作用的两个公式

令 $w_k=F^kw_0$ 。由 $HF=FH-2F$ 归纳得

Hw_k=(\lambda-2k)w_k.

再证明

Ew_k=k(\lambda-k+1)w_{k-1}\qquad(k\geq1).

$k=1$ 时， $EFw_0=FEw_0+Hw_0=\lambda w_0$ 。若 $k$ 时成立，则

\begin{aligned} Ew_{k+1} &=EFw_k=FEw_k+Hw_k\\ &=\bigl[k(\lambda-k+1)+\lambda-2k\bigr]w_k\\ &=(k+1)(\lambda-k)w_k, \end{aligned}

正是下一步的公式。

所有非零 $w_k$ 的 $H$ -特征值互不相同，因此线性无关；有限维性迫使存在最后一个非零 $w_m$ ，满足 $w_{m+1}=0$ 。将上式用于这个零向量，

0=Ew_{m+1}=(m+1)(\lambda-m)w_m.

在复数域中 $m+1\ne0$ ，而 $w_m\ne0$ ，故 $\lambda=m$ 。最高权因此必须为非负整数 $n=m$ 。

不可约性完成“没有遗漏”的一步

$W=\operatorname{span}(w_0,\ldots,w_n)$ 非零，三个作用公式说明它对 $E,F,H$ 都不变，所以它是子表示。 $V$ 不可约，故 $W=V$ 。不同权又保证这些向量线性无关，得到 $\dim V=n+1$ 。

定义映射

w_k\longmapsto \frac{n!}{(n-k)!}X^{n-k}Y^k.

右边是 $F^kX^n$ ，因此该映射保持 $F$ 作用；直接代入另两个公式也保持 $E,H$ 作用。它把一组基送到一组基，故是表示同构 $V\cong V_n$ 。不同 $n$ 给出不同维数，故同构类型的参数唯一。至此，已有构造和本页完备性证明合在一起，才得到分类。

例子与边界

同一个三维表示的两种系数

最高权为 $2$ 时，原始链基 $(w_0,w_1,w_2)$ 满足

Fw_0=w_1,\quad Fw_1=w_2,\quad Fw_2=0, \qquad Ew_1=2w_0,\quad Ew_2=2w_1.

与多项式基的对应是

w_0\mapsto X^2,\qquad w_1\mapsto2XY,\qquad w_2\mapsto2Y^2.

例如 $E(2Y^2)=4XY=2(2XY)$ ，恰给出链基公式 $Ew_2=2w_1$ ；而在基 $(X^2,XY,Y^2)$ 中，同一个等式写成 $E(Y^2)=2XY$ 。分类同构必须同时写清基的归一化。

在六维张量空间中找两个顶部

现在具体分解 $V_1\otimes V_2$ 。第一因子取基 $(x,y)$ ，第二因子取基 $(X^2,XY,Y^2)$ ，大小写用于区分两个空间。张量积表示的作用是

A(u\otimes v)=(Au)\otimes v+u\otimes(Av), \qquad A=E,F,H.

这是定义在纯张量上的双线性规则，因而延拓为线性算子。不同因子上的算子彼此交换，所以

[A\otimes I+I\otimes A,\ B\otimes I+I\otimes B] =[A,B]\otimes I+I\otimes[A,B],

确实保持 Lie 括号。

显然的顶部为 $p_0=x\otimes X^2$ ，满足 $Hp_0=3p_0$ 、 $Ep_0=0$ 。逐步作用 $F$ 得到

\begin{aligned} p_1&=y\otimes X^2+2x\otimes XY,\\ p_2&=4y\otimes XY+2x\otimes Y^2,\\ p_3&=6y\otimes Y^2,\qquad Fp_3=0. \end{aligned}

它们的权依次为 $3,1,-1,-3$ ；链公式给出

Ep_1=3p_0,\qquad Ep_2=4p_1,\qquad Ep_3=3p_2.

因此 $P=\operatorname{span}(p_0,p_1,p_2,p_3)$ 与 $V_3$ 同构。

六维空间还有两维尚未归入这条链。权 $1$ 的空间由 $x\otimes XY$ 与 $y\otimes X^2$ 张成，两者经 $E$ 都变成 $x\otimes X^2$ ，所以相减得到第二个顶部：

q_0=x\otimes XY-y\otimes X^2,\qquad Eq_0=0,\qquad Hq_0=q_0.

继续计算

q_1=Fq_0=x\otimes Y^2-y\otimes XY,\qquad Fq_1=0,\qquad Eq_1=q_0,\qquad Hq_1=-q_1.

于是 $Q=\operatorname{span}(q_0,q_1)\cong V_1$ 。

核验是直和，而不仅是维数相加

在权 $1$ 的有序基 $(x\otimes XY,y\otimes X^2)$ 下， $(p_1,q_0)$ 的坐标列矩阵为

\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}, \qquad \det=-3\ne0.

在权 $-1$ 的有序基 $(x\otimes Y^2,y\otimes XY)$ 下， $(p_2,q_1)$ 的坐标列矩阵为

\begin{pmatrix}2&1\\4&-1\end{pmatrix}, \qquad \det=-6\ne0.

权 $3$ 与 $-3$ 的空间分别由 $p_0,p_3$ 张成。因此六个向量共同构成整个张量空间的一组基，且两个子空间都保持表示作用，得到实际的表示分解

V_1\otimes V_2=P\oplus Q\cong V_3\oplus V_1.

特别地，还能从链坐标还原原张量：

x\otimes XY=\frac{p_1+q_0}{3},\qquad y\otimes X^2=\frac{p_1-2q_0}{3},

x\otimes Y^2=\frac{p_2+4q_1}{6},\qquad y\otimes XY=\frac{p_2-2q_1}{6}.

这四式既检查了符号和系数，也给出在两个不可约分量之间实际换坐标的方法。

三项假设各自负责什么

复数域保证 $H$ 至少有一个特征向量；特征零保证不同整数权不会模某个素数重合，且 $(m+1)(\lambda-m)=0$ 能推出 $\lambda=m$ 。正特征下，对称幂 $V_p$ 的二维真子空间 $\operatorname{span}(X^p,Y^p)$ 被三个算子全部消去，已在表示定义页构成反例。

有限维性用于权链终止，不能把本证明直接用于无限维表示。不可约性用于把生成的链子空间提升为全空间；例如 $V_1\oplus V_0$ 中，从权 $1$ 的顶部只能生成二维 $V_1$ ，不会生成剩下的一维平凡分量。

一个顶部的存在本身，也不证明任意有限维表示可以分解成不可约直和。一般完全可约性需要额外论证；上面的特定张量积已通过六个实际基向量独立完成分解，没有把该一般结论当作未说明的前提。

推论与应用

在不可约 $V_n$ 中， $H$ 的权为 $n,n-2,\ldots,-n$ ，各重数为 $1$ ，故 $\operatorname{tr}H=0$ 。 $F$ 在链基中是一条长度 $n+1$ 的单 Jordan 链； $E$ 的内部系数 $k(n-k+1)$ 均非零，所以也只有一个同样长度的幂零 Jordan 块。这些都是由作用公式直接读出的约束。

用形式变量 $z$ 记录权重数，定义本例中的权特征标

\chi_{V_n}(z)=z^n+z^{n-2}+\cdots+z^{-n}.

张量积的权相加，因此

(z+z^{-1})(z^2+1+z^{-2}) =z^3+2z+2z^{-1}+z^{-3} =\chi_{V_3}(z)+\chi_{V_1}(z).

这为已经构造出的分解提供快速复核：权 $\pm1$ 各出现两次，分别来自两条链。仅知道这个多项式等式时，仍需证明实际子表示与直和性；上面的顶部向量、升降关系和两个非零行列式完成了这一步。

更一般的 Clebsch–Gordan 规则会分解任意 $V_m\otimes V_n$ 。本页的 $2\times3$ 算例说明其中的工作机制：先求各权空间，再在提升算子 $E$ 的核中找顶部，沿 $F$ 生成分量，最后核验这些分量确实覆盖空间。

参考资料

Pavel Etingof，Lie Groups and Lie Algebras I，MIT 18.745，Fall 2020 完整讲义，§11.4，Theorem 11.16(i–iii)，印刷页66–67（对称幂、最高权与不可约分类）；Theorem 11.18，页68（一般 Clebsch–Gordan 规则）。本页的基归一化以显示的作用公式为准。

形式陈述 ​

从有限谱中找到最高权向量 ​

向下作用的两个公式 ​

不可约性完成“没有遗漏”的一步 ​

同一个三维表示的两种系数 ​

在六维张量空间中找两个顶部 ​

核验是直和，而不仅是维数相加 ​

三项假设各自负责什么 ​

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