Lie 代数表示 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $\mathfrak g$ 是复数域上的Lie 代数， $V$ 是复向量空间。 $\mathfrak g$ 在 $V$ 上的表示是线性映射

\rho:\mathfrak g\longrightarrow\operatorname{End}_{\mathbb C}(V), \qquad \rho([a,b])=\rho(a)\rho(b)-\rho(b)\rho(a).

右边的乘法是算子复合。因此，一个表示把抽象括号实现为同一空间上线性操作的次序差。表示的像不必可逆，零算子和非零幂零算子都可以出现。

子空间 $W\subseteq V$ 若对每个 $a\in\mathfrak g$ 都满足 $\rho(a)W\subseteq W$ ，就是这个表示的不变子空间；把作用限制到 $W$ 得到子表示。非零空间 $V$ 上的表示称为不可约，当且仅当这样的子空间只有 $0$ 和 $V$ 。这里要求对所有作用算子同时不变，单独某个算子的不变子空间未必是子表示。

下面构造一整族不可约表示。取 $n\geq0$ ，在多项式环 $\mathbb C[X,Y]$ 中令

V_n=\left\{\sum_{k=0}^{n}c_kX^{n-k}Y^k:c_k\in\mathbb C\right\}, \qquad v_k=X^{n-k}Y^k.

它是次数为 $n$ 的齐次多项式空间，维数为 $n+1$ ，也记作 $\operatorname{Sym}^n(\mathbb C^2)$ 。此处 $X,Y$ 是标准二维表示的基向量符号，把它们的作用按乘积法则延伸到多项式；这项约定确定了下面算子的符号。若从坐标函数的逆变换拉回出发，则属于对偶作用的约定，不能直接混用。

在 $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$ 中取标准基

e=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad f=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\qquad h=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.

它们满足 $[h,e]=2e$ 、 $[h,f]=-2f$ 、 $[e,f]=h$ 。定义作用算子

\rho(e)=E=X\frac{\partial}{\partial Y},\qquad \rho(f)=F=Y\frac{\partial}{\partial X},\qquad \rho(h)=H=X\frac{\partial}{\partial X}-Y\frac{\partial}{\partial Y}.

每个算子先求导再乘以一次变量，因而保持齐次次数。它们在 $V_n$ 上定义一个表示，而且每个 $V_n$ 都不可约；下文分别核验括号关系与不可约性。

直觉

算子 $H$ 在单项式基上是对角的，其特征值称为这里的权。三个作用公式是

Ev_k=kv_{k-1},\qquad Fv_k=(n-k)v_{k+1},\qquad Hv_k=(n-2k)v_k,

其中超出 $0\leq k\leq n$ 的项按零处理。 $E$ 将一个 $Y$ 换成 $X$ ，权增加 $2$ ； $F$ 将一个 $X$ 换成 $Y$ ，权减少 $2$ 。端点 $v_0=X^n$ 的权为 $n$ ，且 $Ev_0=0$ ，所以它称为最高权向量。

不可约性的关键是把“混合着多个单项式的向量”拆开。如果一个子空间对 $H$ 不变，那么对 $H$ 的任意多项式也不变。由于这里的权彼此不同，可以构造一个多项式算子，只留下指定权的分量。一旦取出任何一个 $v_k$ ，反复作用 $E$ 就能到达 $v_0$ ，再反复作用 $F$ 就能走遍全部基向量。

三次齐次多项式的权为 3、1、−1、−3；F 向右作用的系数为 3、2、1，E 向左作用的系数为 1、2、3。 — 三次对称幂的升降权阶梯

图中箭头的数字是作用后的倍数。例如 $F(X^3)=3X^2Y$ ，而反向的 $E(X^2Y)=X^3$ 。双向箭头连接相同的权空间，却不表示两个算子互为逆映射。

例子与边界

在基向量上核验三个括号

三个导子对单项式的作用直接来自幂函数求导。将这些公式代入交换子，首先得到

\begin{aligned} [H,E]v_k &=k\bigl[(n-2k+2)-(n-2k)\bigr]v_{k-1} =2Ev_k,\\ [H,F]v_k &=(n-k)\bigl[(n-2k-2)-(n-2k)\bigr]v_{k+1} =-2Fv_k. \end{aligned}

再分别计算两种复合的系数：

EFv_k=(n-k)(k+1)v_k,\qquad FEv_k=k(n-k+1)v_k.

相减即得

[E,F]v_k=\bigl[(n-k)(k+1)-k(n-k+1)\bigr]v_k =(n-2k)v_k=Hv_k.

端点处的零系数使这些等式仍然成立。因为 $v_0,\ldots,v_n$ 是一组基，三条算子恒等式成立；又因为括号双线性，它们足以核验 $\rho$ 对任意两个 Lie 代数元素保持括号。

二次多项式的列坐标矩阵

取 $n=2$ ，有序基为 $(X^2,XY,Y^2)$ ，并约定矩阵第 $j$ 列记录第 $j$ 个基向量的像。由作用公式逐列得到

[E]=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix},\qquad [F]=\begin{pmatrix}0&0&0\\2&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},\qquad [H]=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&0&0\\0&0&-2\end{pmatrix}.

例如 $E(Y^2)=2XY$ 给出 $[E]$ 的第三列， $F(X^2)=2XY$ 给出 $[F]$ 的第一列。直接相乘有

[E][F]=\operatorname{diag}(2,2,0),\qquad [F][E]=\operatorname{diag}(0,2,2),

故 $[E][F]-[F][E]=[H]$ 。这些矩阵使用多项式基，而 Lie 代数页的伴随矩阵使用 $\mathfrak{sl}_2$ 本身的基；列坐标必须随所选空间和基一起理解。

三次多项式中的具体投影

取 $n=3$ ，四个基向量 $(X^3,X^2Y,XY^2,Y^3)$ 的权依次为 $3,1,-1,-3$ 。设一个不变子空间 $W$ 含有 $w=X^3+XY^2$ 。多项式算子

\pi_0=\frac{(H-I)(H+I)(H+3I)}{48}

在权 $3$ 上作用为 $1$ ，在其余三个权上作用为 $0$ ，因此 $\pi_0w=X^3\in W$ 。继续作用 $F$ ，得到

FX^3=3X^2Y,\qquad F^2X^3=6XY^2,\qquad F^3X^3=6Y^3.

这些系数在复数域中都非零，所以 $W$ 包含四个基向量，必等于 $V_3$ 。这个计算展示了如何从一个混合向量恢复整个四维表示。

正特征下的反例

若把基域换成特征为素数 $p$ 的域，同样的形式导子仍满足上述括号关系，但次数为 $p$ 的表示不再不可约。子空间

W=\operatorname{span}\{X^p,Y^p\}\subset V_p

的两个基向量都被 $E,F,H$ 消去，因为求导或计算权时出现的系数 $p$ 在该域中为零。于是 $W$ 是二维不变子空间，而 $\dim V_p=p+1>2$ ，所以它非零且真包含于 $V_p$ 。复数域证明中的阶乘与权差可能在正特征下变成零，不能继续约去。

推论与应用

用谱投影证明整族不可约

设 $0\ne W\subseteq V_n$ 对 $E,F,H$ 都不变。记 $\lambda_k=n-2k$ ；复数域中这些权两两不同。对每个 $k$ 定义

\pi_k=\prod_{\substack{0\leq j\leq n\\j\ne k}} \frac{H-\lambda_jI}{\lambda_k-\lambda_j}.

这是 $H$ 的多项式，故保持 $W$ ；而代入每个基向量的特征值可知， $\pi_kv_j$ 在 $j=k$ 时等于 $v_k$ ，其余情形为零。对任一非零向量 $w=\sum_jc_jv_j\in W$ ，选取 $c_k\ne0$ ，便有 $\pi_kw=c_kv_k\in W$ ，从而 $v_k\in W$ 。

从已经取出的单项式出发，升降公式给出

E^kv_k=k!v_0,\qquad F^rv_0=\frac{n!}{(n-r)!}v_r\quad(0\leq r\leq n).

所有系数在复数域中均非零。因此 $v_0\in W$ ，继而每个 $v_r\in W$ ，即 $W=V_n$ ，不可约性得证。当 $n=0$ 时，投影中的空乘积是恒等算子， $V_0$ 是一维平凡表示，同样不可约。这一证明只依赖明确的作用公式与不同权的分离，无需预先调用不可约表示的分类定理。

构造并证明每个 $V_n$ 不可约之后，还需要排除其他同构类型。sl₂ 的有限维不可约分类从任意有限维复不可约表示出发，通过有限权链推出最高权为非负整数 $n$ ，再证明整条链生成全空间。该页还直接计算 $V_1\otimes V_2$ 的两条最高权链，得到 $V_3\oplus V_1$ 。

与群表示的接口

群表示把群乘法变成可逆算子的复合，Lie 代数表示则把括号变成算子的交换子。在光滑 Lie 群的有限维光滑表示中，沿单位元处的切向方向求导，会得到其 Lie 代数表示。反向从 Lie 代数表示恢复某个指定群的表示，还受到群的整体结构限制；对连通且单连通的 Lie 群有相应的唯一积分定理，不能把它直接推广到任意群。

有限群赋予离散拓扑后是零维 Lie 群，其有限维实或复表示都是光滑的。微分得到的是零 Lie 代数在表示空间上的唯一作用，即零作用，因此无法从微分恢复原来的有限群作用。

对称幂族还提供了一种把低维作用扩展到高维的具体办法：从 $eY=X$ 、 $fX=Y$ 及 $hX=X,hY=-Y$ 出发，按乘积法则作用到次数为 $n$ 的单项式，就得到维数为 $n+1$ 的表示。权记录各单项式中两类基向量的数量差，升降算子连接这些分量，谱投影则保证任何非零子表示都无法只保留其中一部分。

参考资料

Pavel Etingof，Lie Groups and Lie Algebras I，MIT 18.745，Fall 2020 完整讲义，§2.3 Example 6，印刷页 21：离散群作为 Lie 群；§11.1，印刷页 62–63：表示及其微分、积分；§11.4，印刷页 65–67，特别是 Theorem 11.16(i)：齐次多项式构造与不可约性。
Pavel Etingof 等，Introduction to Representation Theory，§2.1 Theorem 2.1.1(i)，印刷页 6；§2.15 Problem 2.15.1，印刷页 37–38： $\mathfrak{sl}_2$ 的多项式表示、权与升降算子。
Victor Kac，Michael Crossley 整理，Lecture 1: Introduction to Lie Algebras，MIT 18.745，2010-09-09，第 1–2 页： $\operatorname{End}(V)$ 的交换子 Lie 代数。

形式陈述 ​

在基向量上核验三个括号 ​

二次多项式的列坐标矩阵 ​

三次多项式中的具体投影 ​

正特征下的反例 ​

用谱投影证明整族不可约 ​

与群表示的接口 ​

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