Dirichlet 核

频域中，$S_N$ 很简单：保留 $|k|\le N$ 的系数，其余砍掉。空间域中，这个硬截断对应振荡的 $D_N$。它用一个位置附近的大正权重取平均，又用交替正负的远处权重修正细节。

若只看 $D_N(0)=2N+1$，会以为增加频率只是把平均窗口缩窄。然而旁瓣没有消失，绝对权重的总量还缓慢增加。某些输入可以顺着这些符号摆动，使本来应当互相抵消的部分变成同向贡献；这正是上确界范数下的不稳定来源。

最低阶也已经有负权重 ​

$D_1(t)=1+2\cos t$。在 $|t|<2\pi /3$ 时它为正，在 $2\pi /3<|t|\le \pi$ 时为负。令周期函数

它的取值只有 $\pm 1$，而 $D_1$ 是偶函数，所以

正区间上的积分为

扣除总有符号积分 $2\pi$，得到

所以输入处处不超过一，部分和在零点却超过一。这里不需要取高频极限，就能看见负权重为什么破坏取值范围保持。

卷积公式的核验 ​

展开有限和并换元 $u=x-t$，

这里只换了有限和与积分，没有使用 Fourier 级数已经收敛的假设。因而即使原级数发散，部分和的卷积表示仍完全正确。

绝对质量为何按对数增长 ​

在 $0<t\le \pi$ 上，$\sin \left(t/2\right)\ge t/\pi$，且有限和直接给 $|D_N(t)|\le 2N+1$。因此

把积分在 $t=(2N+1{)}^{-1}$ 处分开，第一段贡献有界，第二段为 $O(\log (N+1))$。

下界则用 $\sin \left(t/2\right)\le t/2$。令 $M=N+1/2$，换元后

对 $j=1,\dots ,N-1$，在 $[j\pi ,(j+1)\pi ]$ 上，$1/u\ge 1/((j+1)\pi )$，而 ${\int }_{j\pi }^{(j+1)\pi }|\sin u|du=2$。所以右侧至少含一个常数乘 $\sum _{j=1}^{N-1}1/(j+1)$。有限个小 $N$ 可吸收到常数中，由此得到对数下界。

连续性仍不能保证普通部分和处处收敛 ​

固定零点，令 $L_N(f)=S_{N}f(0)$，把它看成 $C(\mathbb{T})$ 上的有界线性泛函。其范数恰为 $\Vert D_N{\Vert }_1$：上界由积分绝对值给出；下界可用连续函数在小邻域外逼近 $\mathrm{sign}(D_N(-t))$，使积分任意接近绝对质量。

这些泛函范数无界。由一致有界原理公理库一致有界原理Uniform boundedness principle · Banach–Steinhaus theorem一族有界线性算子若逐点有界，则其算子范数一致有界。的逆否命题，存在一个连续周期函数 $f$，使 $\underset{N}{sup}|S_{N}f(0)|=\mathrm{\infty }$。这解释了为什么“输入连续”仍不足以保证普通部分和处处收敛。它是存在性证明，不是说每个连续函数都会发散；具有额外正则性的函数仍可以很好地收敛。

Fejér 求和公理库Fejér 求和定理Fejer theorem · Cesàro summation of Fourier series对 Fourier 部分和作 Cesàro 平均得到非负单位质量核，从而对每个连续周期函数一致收敛。将这些部分和取平均，得到非负、质量为一的核，从而恢复对所有连续周期函数的一致逼近。它改变的是逼近算子。原来用 $D_N$ 得到的Gibbs 过冲公理库Fourier 的 Gibbs 现象Gibbs phenomenon用方波的缩放极限解释间断旁不消失的超调高度，并区分逐点、积分与一致误差。结论，不会因为换成另一个核便成为同一条曲线的性质。