Fejér 求和定理

第 $k$ 个频率从 $S_{|k|}$ 开始，出现在随后全部部分和中。因此平均后，它不再得到“保留或删除”的二选一权重，而得到

低频保留得多，高频逐渐衰减。这种三角形频率权重在空间中恰好变成一个平方模，所以核非负。输出于是成为真正的加权平均，而非用正负旁瓣修正出来的值。

若实值输入满足 $a\le f\le b$ 几乎处处，则每个 $N$ 都有 $a\le {\sigma }_{N}f\le b$。这个取值范围保证已经在有限阶成立，不必等到极限。

对方波算出前两次平均 ​

令 $f(x)=\mathrm{sign}(\sin x)$，在跳点取零。它的奇数正弦系数为 $4/(\pi k)$，偶数系数为零。因此

按照本页的索引，

两者最大值分别约为 $0.637$ 和 $0.849$，都在原输入的 $[-1,1]$ 内。增加阶数使平台逐渐更平，但不会因核的负旁瓣产生过冲，因为这里根本没有负权重。

方波不连续，所以本页的一致收敛结论不能套给它。每个 ${\sigma }_{N}f$ 连续；连续函数的一致极限仍连续，不可能一致趋向方波。在跳点零处，偶核与奇函数相消，始终有 ${\sigma }_{N}f(0)=0$；在连续点则趋向 $\pm 1$。零正是左右极限的平均，而不是任意人为给跳点指定的值。

索引偏移要跟着公式一起改 ​

有的文献写 $F_n=n^{-1}\sum _{j=0}^{n-1}{D}_j$，其中心高度是 $n$。本页用 $N+1$ 个部分和，所以中心高度是 $N+1$。两套记号等价，但若只替换字母而不改上限，就会把频率权重、核峰值和低阶例子错开一位。

核的三条性质 ​

Dirichlet 核公理库Dirichlet 核Dirichlet kernel把 Fourier 对称部分和写成卷积的振荡核，其增长的绝对质量揭示硬频率截断的端点不稳定。的每个积分都等于一，故 $\int F_{N}dm=1$。平方模公式给出 $F_N\ge 0$，于是 $\Vert F_N{\Vert }_1=1$。

固定 $0<\delta \le \pi$。在 $\delta \le |t|\le \pi$ 上，分母至少为 ${\sin }^2(\delta /2)$，所以

积分后，离零至少 $\delta$ 的质量趋零。因此 $F_N$ 是圆周上的近似恒等核公理库近似恒等核Approximate identity · Approximation to the identity总质量固定、绝对质量向原点集中且没有放大失控的卷积核族，使局部平均在有限 Lp 范数中恢复输入。。连续周期函数自动一致连续公理库一致连续Uniform continuity同一 δ 对定义域中所有点同时控制给定 ε。，范数和一致收敛随之得到。

也可以直接写出误差机制。若 $|f(x-t)-f(x)|<\eta$ 对全部 $x$ 和 $|t|<\delta$ 成立，则

右侧与 $x$ 无关，先令 $N\to \mathrm{\infty }$，再令 $\eta \to 0$。不需要知道普通部分和是否已经收敛。

跳点与唯一性 ​

若 $f$ 有界，并在 $x$ 有左右极限 $f(x-)$、$f(x+)$，将卷积分成 $t>0$ 与 $t<0$。偶性使两边核质量各为 $1/2$；靠近零时分别读取一个单侧极限，远处质量消失。因此

这项结论需要所述单侧极限，不能从任意 $L^1$ 代表的单点值直接推得。

Fejér 定理还证明 Fourier 系数的唯一性。若 $f\in L^1(\mathbb{T})$ 的全部系数为零，则每个 ${\sigma }_{N}f=0$；但它们在 $L^1$ 中趋向 $f$，所以 $f=0$ 几乎处处。也就是说，原级数是否逐点收敛，和全部系数是否唯一决定函数，是两个不同问题。

连续周期函数能由 ${\sigma }_{N}f$ 这样的三角多项式一致逼近。若目标是保留取值范围或建立可靠逼近，这是比“多加几个原始 Fourier 模态”更直接的选择；若目标强调某些高频细节，则应同时承认平均对这些频率施加了衰减。