近似恒等核

在位置 $x$，卷积读取周围的 $f(x-y)$，再按 $K_{\epsilon }(y)$ 加权。积分为一保证常数信号不被改变；绝对尾质量趋零保证远处的数值最终不再影响这个读数；一致的 $L^1$ 界则防止正负权重虽相互抵消，却把微小输入误差放大。

“恒等”指最终接近不做任何变换的算子 $f\mapsto f$。有限 $\epsilon$ 时仍在平均，尖角可能被磨平；极限恢复的是所声明的范数意义，不是为每个被任意修改过的单点恢复原值。

盒核把跳跃涂成一条可算的斜坡 ​

取 $d=1$、

卷积是区间 $[x-\epsilon ,x+\epsilon ]$ 与 $[0,1]$ 的重叠长度除以 $2\epsilon$。因此它在 $[\epsilon ,1-\epsilon ]$ 等于一，在外侧远处等于零，只在两个端点附近各宽 $2\epsilon$ 的带中变化。左端斜坡为

四个半边缘带的误差具有相同积分。直接计算，

所以每个有限 $p$ 的误差都趋零，但 $L^{\mathrm{\infty }}$ 误差始终为 $1/2$。即使把 $f(0)$ 改成 $1/2$，紧邻零点两侧的误差仍任意接近 $1/2$；问题不只是端点赋值，而是连续斜坡无法一致逼近跳跃。

只有总质量为一为什么不够 ​

令 $K_{\epsilon }={\mathbf{1}}_{[1,2]}$，完全不随 $\epsilon$ 改变。其积分和 $L^1$ 范数都是一，却一直读取离中心一到二个单位的位置。对 $f={\mathbf{1}}_{[0,1]}$，输出支撑落在 $[1,3]$，不会趋向原函数。失败的正是原点附近的集中条件。

有符号核还可能把很大的正负质量放到远处，使其积分抵消为零。第三条使用绝对值，就是为了禁止这种“净质量很小、实际权重很大”的假集中。

证明：先控制小平移，再控制远尾 ​

有限 $p$ 下，平移在 $L^p$ 范数中连续：

可以先对紧支撑连续函数用一致连续性证明，再以它们在 $L^p$ 中的稠密性推广。平移不改变范数，所以逼近误差不会因移动而扩大。

利用核积分为一，

Minkowski 不等式公理库Minkowski 不等式Minkowski inequality$L^p$ 范数满足三角不等式。的积分形式给出

给定 $\eta >0$，先选 $\delta$ 使 $|y|\le \delta$ 时平移误差小于 $\eta$；然后拆积分：

固定这个 $\delta$ 让 $\epsilon \downarrow 0$，上极限至多为 $C\eta$；最后让 $\eta \downarrow 0$。顺序不能反过来：先选可容许的平移尺度，再等待核质量进入这个尺度。

有界一致连续函数公理库一致连续Uniform continuity同一 δ 对定义域中所有点同时控制给定 ε。的证明完全相同，只把平移的 $L^p$ 误差换成上确界误差。一般有界函数缺少这一小平移性质，盒核反例已准确显示缺口。

光滑紧支撑核还能让 $K_{\epsilon }\ast f$ 光滑，成为弱导数和分布理论中的正则化工具。圆周上将 Lebesgue 测度换成 $d\theta /(2\pi )$ 后，同一证明适用于 Fejér 核公理库Fejér 求和定理Fejer theorem · Cesàro summation of Fourier series对 Fourier 部分和作 Cesàro 平均得到非负单位质量核，从而对每个连续周期函数一致收敛。与 Poisson 核公理库圆盘 Poisson 核Poisson kernel on the disk · Poisson integral formula on the disk用非负边界权重构造单位圆盘调和延拓的核，其频率权重按半径的幂次衰减。。不过，仅凭本页的三个核条件，不能对任意局部可积函数直接宣称每个 Lebesgue 点都逐点收敛；点态恢复还需适合的核控制或最大函数估计。