调和函数与平均值性质

在一个小球里，球面平均随半径怎样变化，正好由球内 Laplacian 的积分决定。若总曲率为零，扩大或缩小平均球都不会改变读数；把半径缩到零，这个不变读数只能是中心值。

调和函数不必是平面。一个方向向上弯，另一个方向向下弯，二阶贡献可以精确抵消。平均值性质记录的是这种平衡，而不是所有方向都没有变化。

把一个非平面的平衡算到底 ​

取 $u(x,y)=x^2-y^2$。围绕任意中心 $(a,b)$，圆周点写成

展开后，线性正弦、余弦项平均为零，${\cos }^2\theta$ 与 ${\sin }^2\theta$ 的平均都是 $1/2$，于是

若改为 $v=x^2+y^2$，圆周平均却是 $v(a,b)+r^2$；圆盘平均是 $v(a,b)+r^2/2$。这两个偏差不同，但都与 $\mathrm{\Delta }v=4$ 相符，说明球面和球体的平均公式需要分别核算。

单点平均相等不能识别一个方程 ​

函数 $w(x,y)=x^3$ 在以原点为中心的每个圆上平均都是零，等于 $w(0,0)$。但 $\mathrm{\Delta }w=6x$，它并不调和。失败不是半径不够多，而是只检查了一个中心。方程必须约束区域内每个位置。

在穿孔区域中，$\log |x|$（二维）在原点之外调和；若平均圆把缺失的原点包在内部，就不能引用本页定理。闭球完全留在定义域内，是避免隐藏源点的实质条件。

平均值的半径导数 ​

记 ${\omega }_{d-1}=|S^{d-1}|$，并令

这是球面平均。利用多元求导公理库多元函数导数Derivative in several variables · Jacobian derivativeFréchet 导数在有限维 Euclidean 坐标中的 Jacobian、梯度与方向导数表示。与散度定理公理库散度定理Divergence theorem · Gauss theorem · Gauss–Ostrogradsky theorem区域内部散度的体积分等于其边界上向外法向通量的积分。，

若 $\mathrm{\Delta }u=0$，则 $A^{\prime }(r)=0$，而 $A(r)\to u(x)$，所以每个球面平均都等于 $u(x)$。再把不同半径的球面积分沿半径累加，就得到球体平均。

同一个式子还给出方向：若 $\mathrm{\Delta }u\ge 0$，球面平均随半径不减，中心值不超过球面及球体平均。这样的 $C^2$ 函数称次调和函数；$\mathrm{\Delta }u\le 0$ 则称超调和函数，并反转不等号。

只从平均规律出发，如何得到可微性 ​

现在只假定 $u$ 连续且有平均值性质。选一个非负、光滑、径向对称、单位质量的紧支撑核 ${\rho }_{\epsilon }$。在距边界大于 $\epsilon$ 的位置，径向积分将卷积写成各球面平均的加权和，所以

左侧可任意次求导，故右侧在内部光滑。这里不是先假定 $u$ 有导数；是平均规律让 $u$ 等于一个光滑函数。近似恒等核公理库近似恒等核Approximate identity · Approximation to the identity总质量固定、绝对质量向原点集中且没有放大失控的卷积核族，使局部平均在有限 Lp 范数中恢复输入。通常只在极限恢复输入，而调和函数对每个足够小的径向平均已经保持不变。

若起初只有球体平均性质，对恒等式 ${\int }_{B(x,r)}u=|B(x,r)|u(x)$ 求半径导数，就得到球面平均；连续性保证这一径向求导合法。取得光滑性后，前面的 $A^{\prime }(r)$ 公式给所有小球内 $\int \mathrm{\Delta }u=0$。连续函数 $\mathrm{\Delta }u$ 若在某点严格为正或负，足够小球积分也会同号，因此只能处处为零。

这一规律支撑最大值原理公理库椭圆最大值原理Elliptic maximum principle · Maximum principle for harmonic functions有界区域内的次调和函数由边界上界控制；若在连通内部达到全局最大值，平均不等式迫使它恒定。与正调和函数的 Harnack 比较公理库调和函数的 Harnack 不等式Harnack inequality for harmonic functions非负调和函数在远离边界的连通区域内，其最大值与最小值之比由区域几何控制。。它也解释为何粗糙边界数据可以在内部产生光滑解；光滑性局限于内部，并不替代边界连续性或边界正则性条件。