Laplace 方程的镜像法

形式陈述

一面平直的零温度墙，可以用一个不在真实区域内的虚拟源精确代替它的影响。

设上半空间 $\mathbb R^d_+=\{x_d>0\}$ ， $d\ge2$ 。对源点 $y=(y',y_d)$ ，令镜像点 $y^*=(y',-y_d)$ 。采用无界域 Green 核的局部条件，再选择固定源点时远场趋零的零 Dirichlet 核：

G_D(x,y)=\Phi(x-y)-\Phi(x-y^*),

其中 $\Phi$ 是 $-\Delta$ 的基本解。它在真实半空间只含 $y$ 处的单位源，并在 $x_d=0$ 上取零。对固定 $y\in\mathbb R^d_+$ ，它还在 $|x|\to\infty$ 时趋零：两源之间的差可沿连接线段积分 $\nabla\Phi$ ，而远场 $|\nabla\Phi|=O(|x|^{1-d})$ 。在这个类别中，两个具有相同基本解奇性的核之差在源点也光滑调和、平面边界为零，并在无穷远趋零；对越来越大的半球使用最大值原理，便得差恒为零。

若改为零法向导数，局部相消应换成同号叠加：

G_N(x,y)=\Phi(x-y)+\Phi(x-y^*).

它在平面上满足 $\partial_{n_x}G_N=0$ 。半空间是无界域；使用这些核构造完整解和宣称唯一性时，还要指定数据可积性、远场衰减或有界类，不能只检查平面边界。

直觉

平面上的点到源和镜像源距离相同。因此异号叠加会消掉数值，而同号叠加会消掉垂直方向的斜率。我们没有声称物理区域中真的放了第二个源；虚拟源处在排除的那一侧，它的贡献在真实区域内只是一个调和校正。

这是一种利用对称性求解边值问题的构造。一般弯曲边界不能由一个平面反射源解决，某些球面虽可用反演源处理，位置与系数也必须重新推导。

例子与边界

三维半空间的一个可核算读数

把单位源放在 $y=(0,0,a)$ ， $a>0$ ，观察点取 $x=(0,0,2a)$ 。到真实源与镜像源的距离分别为 $a$ 与 $3a$ ，所以

G_D(x,y)=\frac1{4\pi a}-\frac1{12\pi a} =\frac1{6\pi a}.

自由空间值为 $1/(4\pi a)$ 。零边界墙的校正把当前响应降为它的 $2/3$ ，而非保持原来的自由空间读数。

在平面上的任意点 $(z_1,z_2,0)$ ，两个距离都为 $\sqrt{z_1^2+z_2^2+a^2}$ ，所以差恒为零。这项检查覆盖整个边界，而不只是源点正下方。

不能把虚拟源放进真实区域

若错误地把校正源放在半空间内部，第二项也会贡献一个 Dirac 质量，方程就变成双源问题。满足某条边界曲线的零值，并不能掩盖内部源项已经改变。构造需要同时检查源的位置、符号、系数和边界。

对有界域的纯 Neumann 问题，零通量还要求总源满足兼容条件。半空间同号核的通量可以经无穷远流出，不能把它当成有界域中“任意正总源配零通量都有解”的例子。

推论与应用

两道验证缺一不可

因为 $y^*$ 不在上半空间， $\Phi(x-y^*)$ 对真实区域内的 $x$ 光滑且调和。因此

-\Delta_xG_D(x,y)=\delta_y.

平面上距离相等给 $G_D=0$ 。同号核的法向核验则需要梯度：在 $x_d=0$ ，来自上下对称源的垂直导数相反，故相加后为零。实线图上的“高度抵消”和“斜率抵消”是两种不同要求。

从镜像核导出半空间 Poisson 权重

在三维写观察点 $x=(x',h)$ ， $h>0$ ，边界积分变量为 $z=(z',0)$ 。边界的外法向为 $-e_3$ 。对源变量求导，得到

-\partial_{n_z}G_D(x,z) =\frac{h}{2\pi(|x'-z'|^2+h^2)^{3/2}}.

因此对有界连续边界数据 $g$ ，候选调和延拓为

u(x',h)=\int_{\mathbb R^2} \frac{h\,g(z')}{2\pi(|x'-z'|^2+h^2)^{3/2}}\,dz'.

这个正核确实具有质量一：平移后用极坐标，

\int_{\mathbb R^2}\frac{h}{2\pi(|z'|^2+h^2)^{3/2}}dz' =h\int_0^\infty\frac{r}{(r^2+h^2)^{3/2}}dr=1.

随着 $h\downarrow0$ ，固定远处的质量趋零，因此在边界连续点恢复 $g$ 。在每个 $h>0$ 的内部区域可对核求导验证调和性；有界性由正单位质量核给出。由此完成半空间表示的直接验证，而不是未经说明地把有界域 Green 公式搬到无界域。

同样的“反射后相减”可用于热核，构造吸收边界的扩散响应；反射后相加则对应无通量边界。每次推广都要确认实际算子在这次反射下保持不变。

参考资料

Stanford Math 220B，Green’s Functions，Examples 5–6、Example 9、式 (4.9) 及半空间表示的验证：反射校正、法向导数和 Poisson 核。

形式陈述 ​

三维半空间的一个可核算读数 ​

不能把虚拟源放进真实区域 ​

两道验证缺一不可 ​

从镜像核导出半空间 Poisson 权重 ​

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三维半空间的一个可核算读数

不能把虚拟源放进真实区域

两道验证缺一不可

从镜像核导出半空间 Poisson 权重