Laplace 算子的基本解

离开源点，通量从一层球面传到下一层，没有新增或损失。半径为 $r$ 的球面面积按 $r^{d-1}$ 增长，因此场的径向强度必须按 $r^{1-d}$ 衰减，才能让总通量固定为一。

对这种场沿半径积分，就得到 $r^{2-d}$；二维积分的是 $1/r$，因此出现对数。维数改变的不只是一个常数，而是远场和奇点的函数形状。

三维单位源的常数不能靠记忆猜 ​

设候选势为 $\mathrm{\Phi }(r)=C/r$。在半径 $r$ 的球面上，外向单位法线就是径向方向，${\partial }_{\nu }\mathrm{\Phi }=-C/r^2$。因此

要让通量等于一，必须取 $C=1/(4\pi )$。只写 $1/r$ 会多出 $4\pi$ 的点源质量。

把单位点源铺成一个实心球 ​

在三维中，考虑 $-\mathrm{\Delta }u={\mathbf{1}}_{B(0,1)}$，并要求 $u\to 0$ 于无穷远。径向方程是

原点处不出现额外点源，迫使内部积分常数为零；内外解及一阶导数在 $r=1$ 连续，得到

源的总质量为 $4\pi /3$，远处势恰是 $(4\pi /3)\mathrm{\Phi }(r)=1/(3r)$。边界处没有额外 Dirac 面质量，因为法向一阶导数连续；二阶导数的跳跃只反映源密度从一变到零。

奇点之外的方程不能决定奇点本身 ​

$\mathrm{\Phi }$ 在原点之外满足 $-\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=0$，并不允许把这个等式直接推广为整个空间的零分布。二阶导数在奇点附近不绝对可积，绕开奇点时留下的球面项不会消失。另一方面，原点的任意点值不影响局部可积函数所定义的分布，真正携带源的是邻域中的奇异形状。

二维的 $-\log r/(2\pi )$ 在无穷远不趋零。给它加常数不改变方程；若要求指定远场归一化，必须与维数和总源质量一起检查。

先由径向方程寻找候选核 ​

对径向函数 $v(r)$，

在 $r>0$ 上令它为零，得到 $v^{\prime }=C{r}^{1-d}$。积分并按单位通量规范化，就产生上述两个维数范围的公式。它们在原点附近都局部可积：高维体积积分只含 ${\int }_0^{\epsilon }rdr$，二维则含 ${\int }_0^{\epsilon }r|\log r|dr$。

分布恒等式来自被挖掉的小球 ​

对紧支撑测试函数 $\phi$，在其支撑外选一个大球，再挖去半径 $\epsilon$ 的原点小球。穿孔区域内 $\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=0$。两次应用散度定理公理库散度定理Divergence theorem · Gauss theorem · Gauss–Ostrogradsky theorem区域内部散度的体积分等于其边界上向外法向通量的积分。，得到内球面贡献

这里 $n$ 是穿孔区域的外法向，在内球面上指向原点，所以 ${\partial }_n\mathrm{\Phi }=-{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(\epsilon )$ 为正。第一项是球面上的 $\phi$ 平均，趋向 $\phi (0)$；第二项在 $d\ge 3$ 时为 $O(\epsilon )$，在二维为 $O(\epsilon |\log \epsilon |)$，均趋零。这正好证明 $-\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }={\delta }_0$。

若 $f\in C_c^{\mathrm{\infty }}$，叠加点源给 Newton 势 $u=\mathrm{\Phi }\ast f$，并在分布意义下满足 $-\mathrm{\Delta }u=f$；卷积可把导数转移到光滑紧支撑的 $f$ 上，因而此时解也光滑。要把它用于有界域的Poisson 边值问题公理库偏微分方程Partial differential equation · PDE含未知多元函数及其偏导数的方程。，还需要减去合适的调和校正；这一步形成Dirichlet Green 函数公理库Dirichlet Green 函数Dirichlet Green function在自由空间点源核上减去调和边界校正，得到同时满足单位点源方程和零 Dirichlet 边界的区域核。。