Dirichlet Green 函数

可以把 $G_{\mathrm{\Omega }}(x,y)$ 看成在 $y$ 放一单位源时，位置 $x$ 的响应。自由空间核只包含源的局部规律；校正项则包含整面边界的影响。换一个区域，局部奇性不变，校正项却会改变。

因此 $G$ 有两个空间变量：一个指观测点，一个指源点。即使两点距离相同，它们靠墙的方式不同，响应也可能不同。只有全空间这种平移不变环境，核才自然只依赖差 $x-y$。

三维单位球的反演源 ​

取 $\mathrm{\Omega }=B(0,1)\subset {\mathbb{R}}^3$，$0<|y|<1$，定义球外点 $y^{\ast }=y/|y{|}^2$。令

第二个奇点在球外，所以它作为 $x$ 的函数在整个球内调和。若 $|x|=1$，直接计算距离得到

两项恰好抵消。第一项携带单位源，第二项没有内部源，因此这个显式式子同时通过方程与边界两道检查。

在 $y=0$ 的极限，核简化为

减去的常数非常重要：只有 $1/(4\pi |x|)$ 时，球面上的值是 $1/(4\pi )$，并不满足零边界。

一个体源，直接算出中心值 ​

设单位球内 $-\mathrm{\Delta }u=1$、边界 $u=0$。由核的对称性和球坐标，

整个解为 $u(x)=(1-|x{|}^2)/6$，因为 $-\mathrm{\Delta }u=1$ 且边界为零。点源叠加和直接微分给出相同中心值。

这与全空间单位球体源不同：后者在球外仍有远场势，球内中心值是 $1/2$。边界条件确实改变了解，而不是给同一个公式换个名称。

Green 表示公式的符号 ​

在前述有界光滑域内，对足够光滑的 $u$，若 $-\mathrm{\Delta }u=f$ 于 $\mathrm{\Omega }$，边界 $u=g$，则

这里 $n_y$ 是区域的外法向。公式来自两次分部积分公理库散度定理Divergence theorem · Gauss theorem · Gauss–Ostrogradsky theorem区域内部散度的体积分等于其边界上向外法向通量的积分。：把 $u$ 与 $G(x,\cdot )$ 放进 Green 第二恒等式，绕开源点的小球，再用单位源的通量极限恢复 $u(x)$。由于 $G$ 的边界值为零，含 $G{\partial }_{n}u$ 的那项消失，留下所写的负号。

零边界时只剩源项积分；零源时，$-{\partial }_{n_y}G$ 就是边界数据的权重。球中的权重回到 Poisson 核，半空间中的权重则由镜像法公理库Laplace 方程的镜像法Method of images for Laplace equation · Image charge method借平面反射把虚拟源放到区域外，以相反或相同符号分别满足零 Dirichlet 或零 Neumann 边界。算出。

为什么点源核非负 ​

仍在上述有界域内，固定源点 $y$，从区域里挖去很小的 $B(y,\epsilon )$。核在剩余区域调和，外边界为零；在小球面上，基本解奇性趋于正无穷，而调和校正有界，所以足够小的内球面上核为正。最小值原理公理库椭圆最大值原理Elliptic maximum principle · Maximum principle for harmonic functions有界区域内的次调和函数由边界上界控制；若在连通内部达到全局最大值，平均不等式迫使它恒定。给剩余区域 $G\ge 0$，再让 $\epsilon \downarrow 0$。连通域内，强原理进一步给源点以外严格为正。

因此 $f\ge 0$、零边界时，Green 表示立即给 $u\ge 0$。这与直接比较原理得到的符号结论一致。

交换源点和观测点 ​

对上述有界域核，固定不同的 $x,y$，对 $G(\cdot ,x)$ 与 $G(\cdot ,y)$ 在同时挖去两个小球的区域使用 Green 第二恒等式。外边界上两函数均为零；每个小球上的通量极限分别读出另一个函数在该源点的值。最终得到

对称性来自算子 $-\mathrm{\Delta }$ 和相同的零 Dirichlet 边界条件，不是任意二维核都具备的形式性质。若加入非自伴漂移项，交换两变量一般会联系到伴随算子的 Green 核，而不是原核自己。

本页核描述的是一个特定边值问题。纯 Neumann 问题保留常数零模态，其兼容性和归一化要另行处理，不能直接把本页的零边界条件换成零法向导数而保留所有存在唯一性声明。