椭圆最大值原理

次调和函数的中心值不超过周围平均。如果中心已经是整个区域的最高值，那么周围每个点又都不能更高，平均要达到中心值，就只能使整个小球同样高。连通性将这块平坦区域传遍整个区域。

弱原理关心“最大值到哪里找”；强原理关心“内部取到最大值意味着什么”。它们既不禁止鞍点，也不禁止次调和函数取得内部最小值。

鞍点和真正的峰 ​

在单位圆盘中，$u(x,y)=x^2-y^2$ 调和，原点的梯度为零，但沿横轴取正值、沿纵轴取负值，所以原点是鞍点。边界数据为 $\cos 2\theta$，整个内部确实处于 $[-1,1]$。

若改为 $v(x,y)=1-x^2-y^2$，它在边界为零、内部原点取最大值一；此时 $\mathrm{\Delta }v=-4$，不满足次调和方向。原理对 $\mathrm{\Delta }u\ge 0$ 的符号要求有实际内容。

加一个低阶项，结论可能改变 ​

在区间 $(0,\pi )$ 上，$u(x)=\sin x$ 满足

却在内部为正。它不违反本页定理，因为本页要求的是 $u^{″}\ge 0$，而不是 $u^{″}+u\ge 0$。仅看“二阶线性方程”这个标签，无法判断最大值原理是否适用。

若区域是两个不相交的球，可以在一个球上取常数一，另一个球上取常数零。函数在内部达到全局最大值，却不在整个区域恒定。强原理中的连通性正是排除这个例子的条件。

弱原理：加入一个微小的严格曲率 ​

闭包紧且 $u$ 连续，极值定理公理库极值定理Extreme value theorem连续实值函数在非空紧空间上取得最大值和最小值。保证最大值存在。先处理 $\mathrm{\Delta }u>0$：若最大值在内部，Hessian 在该点半负定，各坐标二阶导数之和不大于零，与 $\mathrm{\Delta }u>0$ 矛盾。

若只有 $\mathrm{\Delta }u\ge 0$，令

则 $\mathrm{\Delta }{u}_{\epsilon }\ge 2d\epsilon >0$，所以它的最大值在边界。于是对任意 $x\in \mathrm{\Omega }$，

令 $\epsilon \downarrow 0$，得到弱原理。这个证明不要求边界光滑，只用有界性和连续到闭包。

强原理：最大值集合既开又闭 ​

设内部取到的全局最大值为 $M$，令 $E=\{x\in \mathrm{\Omega }:u(x)=M\}$。它非空且相对闭。若 $x\in E$，取一个内含小球；次调和平均不等式给

如果球中某点严格小于 $M$，连续性使一块正体积区域都严格偏低，平均就小于 $M$，矛盾。因此整个小球属于 $E$，$E$ 也相对开。由连通性，$E=\mathrm{\Omega }$。

唯一性与误差预算 ​

若 $u,v$ 在有界区域内都调和，且边界差满足 $|u-v|\le \eta$，对差及其相反数应用弱原理，得到

特别地，同一连续 Dirichlet 数据至多有一个调和解。原理在这里证明唯一性，并未自行构造解；Poisson 核公理库圆盘 Poisson 核Poisson kernel on the disk · Poisson integral formula on the disk用非负边界权重构造单位圆盘调和延拓的核，其频率权重按半径的幂次衰减。或Green 函数公理库Dirichlet Green 函数Dirichlet Green function在自由空间点源核上减去调和边界校正，得到同时满足单位点源方程和零 Dirichlet 边界的区域核。承担构造工作。

若 $-\mathrm{\Delta }u=f\ge 0$ 且边界 $u\ge 0$，则 $\mathrm{\Delta }(-u)=f\ge 0$，最大值原理给 $-u\le 0$，所以 $u\ge 0$。从源项符号到解的符号，中间要有这一步对 $-u$ 的转换。Hopf 引理公理库Hopf 边界点引理Hopf boundary point lemma · Boundary point lemma在内切球接触的边界最大点，严格低于该最大值的次调和函数具有严格正的外法向导数。则继续询问：当非恒定解恰在边界达到最大值时，它离开边界的斜率能否也为零？