Hopf 边界点引理

内切球给了我们一个可以放进区域的比较模型。模型在外球面为零，向内立即变正，而且沿外法向有一个明确的非零负斜率。把它乘到足够小，就能压在真实的温差 $M-u$ 下面。

真实温差既然始终不小于这个模型，也就不能比模型更慢地离开零。于是 $M-u$ 的向内斜率严格为正，等价地，$u$ 的向外斜率严格为正。严格性来自一个有厚度的内侧环带，不是只在边界点作形式求导。

球上直接核验符号 ​

在单位球内取 $u(x)=|x{|}^2$。它满足 $\mathrm{\Delta }u=2d>0$，内部值严格小于边界值一；在任意边界点 $p$，

虽然向外继续走已经离开区域，外法向导数仍可由内侧差商读取：

这有助于记住符号：从内部走到边界最大值，数值在增加。

角点不能照搬光滑边界的结论 ​

在第一象限与单位圆盘的交集中，取 $u(x,y)=-xy$。它在内部严格为负，在原点取零，且 $\mathrm{\Delta }u=0$；但 $\mathrm{\nabla }u(0,0)=0$，所有方向的一阶导数都为零。

原点是角点，没有通常的唯一边界法向，也放不进一个只在原点与边界接触的正半径内球。这个例子说明边界最大值本身不保证非零梯度；不能把光滑接触几何从条件中删去。常函数则违反内部严格不等式，同样没有严格斜率。

一只指数屏障 ​

在内切球的环带 $R/2<|x-c|<R$ 上，定义

它在外球面为零、环带内为正，且

外球面的法向导数则是

这两个符号必须一起核对：屏障的 Laplacian 为正，外法向斜率为负。

把屏障放到真实温差下方 ​

令 $v=M-u$。它在内部为正，$v(p)=0$，并且 $\mathrm{\Delta }v\le 0$。在内球面 $|x-c|=R/2$ 上，极值定理公理库极值定理Extreme value theorem连续实值函数在非空紧空间上取得最大值和最小值。给连续正函数 $v$ 一个严格正的最小值。因此可选 $\epsilon >0$，使 $v\ge \epsilon w$ 在内球面成立。外球面也有 $v\ge 0=\epsilon w$。

环带中

对其相反数使用弱最大值原理公理库椭圆最大值原理Elliptic maximum principle · Maximum principle for harmonic functions有界区域内的次调和函数由边界上界控制；若在连通内部达到全局最大值，平均不等式迫使它恒定。，便得整个环带上 $v\ge \epsilon w$。沿接触点内侧 $p-t\nu$，

令 $t\downarrow 0$，右侧趋于 $2\epsilon aR{e}^{-a{R}^2}>0$。由梯度公理库梯度Gradient标量函数微分在内积下对应的向量。与方向导数的关系，正是所需结论。

Hopf 引理常把非负解的边界接触转成严格通量信息。例如在连通区域内，若经典解满足 $-\mathrm{\Delta }u=f\ge 0$、$u\ge 0$ 且不恒为零，则强最大值原理排除内部零点。因而在取零值且满足本页内切球及一阶正则性条件的边界点，对 $-u$ 使用引理得到 ${\partial }_{\nu }u<0$。源项符号不可省略：单位球上的 $u=(1-|x{|}^2{)}^2$ 非负、非零且边界为零，外法向导数却为零；它的 $-\mathrm{\Delta }u=4d-4(d+2)|x{|}^2$ 会变号。它也能帮助证明更一般椭圆算子的强最大值原理：若最高值集合在内部有边界，就在其外侧放一个内切球，严格斜率会与内部极值处梯度为零冲突。