热核

核的宽度按 $\sqrt{t}$ 增长，中心高度按 $t^{-d/2}$ 降低，两者配合保持总热量不变。热量不是以一个锐利波前向外移动：每个正时间，Gaussian 在任意远处都严格为正。

从频率看，越细的起伏对应越大的频率，衰减也越快。热流的平滑来自这种有尺度差别的衰减，而不是把全部频率同时乘上一个常数。

一段均匀热区怎样扩散 ​

在一维取 $f={\mathbf{1}}_{[-1,1]}$。记标准正态分布函数为 $\mathrm{\Phi }$，换元得到

例如 $t=1/8$、$x=0$ 时，$u(0,t)=\mathrm{\Phi }(2)-\mathrm{\Phi }(-2)\approx 0.95450$。原平台中心已经略微降温；与此同时，区间外立刻出现正温度。总热量仍为

在端点 $x=1$，当 $t\downarrow 0$ 时，$u(1,t)\to 1/2$。初值在该单点取一还是零都不改变卷积；对跳跃不能要求以任意点值方式处处恢复。

不要把扩散系数与方差差一个二 ​

若方程是 $u_t=\kappa \mathrm{\Delta }u$，则把 $t$ 换成 $\kappa t$，核的协方差为 $2\kappa tI$。标准 Brownian 运动的协方差为 $tI$，其生成元相应是 $\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }$。两种约定都正确，但不能在同一个计算中混用。

热方程还不具有可稳定求解的反向演化。正时间衰减的高频因子若倒过来，就会指数放大微小噪声；正向平滑不意味着可以从模糊后的数据稳定地恢复全部细节。

Fourier 模态给出核的形状 ​

对足够光滑且衰减的初值，按本站Fourier 归一化公理库Fourier 变换Fourier transform · 傅里叶变换把非周期函数分解为连续频率成分，并将卷积和平移不变算子转为频域乘法。，空间变换给

每个频率满足一个标量常微分方程，所以

Gaussian 的逆变换正好得到 ${\mathrm{\Gamma }}_t$。直接求导也能独立核验：

对 $t$ 限制在任意远离零的紧区间上，核的各阶导数都是 Gaussian 乘多项式，有足够的可积控制，可把求导移进与上述 $L^p$ 输入的卷积。由此将构造推广到粗糙初值，同时保留正时间光滑性。

初值、质量与半群分别核验 ​

${\mathrm{\Gamma }}_t$ 是宽度 $\sqrt{t}$ 的近似恒等核公理库近似恒等核Approximate identity · Approximation to the identity总质量固定、绝对质量向原点集中且没有放大失控的卷积核族，使局部平均在有限 Lp 范数中恢复输入。，因此有限 $L^p$ 和一致连续初值的恢复直接来自该定理。对有界函数的一个连续点，用近处振荡加远处 Gaussian 尾也可直接证明点态恢复。

核的正性和单位质量还给出收缩性。对 $1\le p<\mathrm{\infty }$，Minkowski 积分不等式公理库Minkowski 不等式Minkowski inequality$L^p$ 范数满足三角不等式。和空间平移不改变范数给出 $\Vert {\mathrm{\Gamma }}_t\ast f{\Vert }_p\le \int {\mathrm{\Gamma }}_t(y)\Vert f(\cdot -y){\Vert }_{p}dy=\Vert f{\Vert }_p$；$p=\mathrm{\infty }$ 时直接积分本质上界得到同一结论。若 $f\in L^1$，乘积绝对积分等于 $\Vert f{\Vert }_1$，所以Fubini 定理公理库Fubini 定理Fubini's theorem在适当可积条件下，多重积分等于任意次序的迭代积分。允许交换两个积分，得到 $\int u=\int f$。若 $f\ge 0$ 且不几乎处处为零，则 $u(x,t)>0$ 对全部 $x,t>0$ 成立；这是全空间核的严格正性，不是任意边界问题都保留全部质量的声明。

频率因子相乘给

这叫半群性质：先扩散 $s$，再扩散 $t$，等于直接扩散 $s+t$。$S(0)$ 是恒等算子，不能把 $t=0$ 直接代进 Gaussian 密度公式。

唯一性必须选一个增长类 ​

对同一有界连续初值的两个有界经典解，差 $w$ 初值为零且满足热方程。在有限时间带上令 $|w|\le A$，考虑

括号本身满足热方程。在大球的侧边界，选半径使 $\epsilon |x{|}^2>A$，则 $w_{\epsilon }<0$；初始面上也小于零。抛物最大值原理公理库抛物最大值原理Parabolic maximum principle · Heat equation comparison principle热方程型不等式的上界由初始面和侧边界控制，终时面不是输入边界；严格时间扰动给出比较与唯一性。给内部 $w_{\epsilon }\le 0$。对固定点让 $\epsilon \downarrow 0$ 得 $w\le 0$，再对 $-w$ 重复，得到唯一性。

持续热源由Duhamel 原理公理库热方程的 Duhamel 原理Duhamel principle for the heat equation把各时刻注入的空间热源先演化到共同终时再积分，构造受迫热方程的解，并区分经典解与积分意义的 mild 解。叠加；有边界的区域则要换成满足边界条件的热核。自由空间核本身不能保证有限容器的零温度或零通量边界。