热方程的 Duhamel 原理

时刻 $s$ 注入的热量是 $F(s)ds$。到时刻 $t$，这份热量已经扩散了 $t-s$，所以贡献为 $S(t-s)F(s)ds$。积分将所有注入时刻的贡献加起来，再叠上最初已有热量的自由演化。

因此演化算子里的时间必须是 $t-s$。若写成 $S(s)$，就让越晚注入的热量扩散得越久，颠倒了过程的时间方向。

共振式累积不是指数发散 ​

一维中取零初值，热源

因为 ${\partial }_{xx}\cos x=-\cos x$，热半群使 $S(t-s)\cos x=e^{-(t-s)}\cos x$。于是

直接求导：

两者相减恰为 $e^{-t}\cos x$。因源项衰减率与该模态的自然衰减率相同，各时刻到达终时的贡献相同，积分留下一个 $t$ 因子；整体仍随长时间趋零。

如果源改成恒定的 $\cos x$，结果是 $(1-e^{-t})\cos x$，而不是 $t\cos x$。忽略注入之后的扩散，会得到错误的长期行为。

局部热源可以从两次积分读出传播 ​

若 $F(s,y)=q(s)\psi (y)$，则

方括号先在空间传播，外层再按时间累加。若 $q,\psi \ge 0$，每份贡献都非负；若 $q$ 在某段时间为零，只是没有新注入，先前的热量仍继续扩散。

方程右端来自积分的上限 ​

记 $v(t)={\int }_0^{t}S(t-s)F(s)ds$。在已声明的光滑有界条件下，可以把空间二阶导数移到 $F(s)$ 上；$\Vert \mathrm{\Delta }F(s){\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ 在有限时间段有界，因而控制 $s\uparrow t$ 附近的求导。

用微积分基本定理公理库微积分基本定理Fundamental theorem of calculus积分与求导在适当连续性条件下互为逆过程。对移动上限求导，

上限项是 $S(0)F(t)=F(t)$。若忘了它，就会错误地把受迫解算成齐次解。初值也需要检查：

第一项 $S(t)f$ 恢复原初值，所以二者合成完整解。

一个有用的稳定性估计 ​

热半群是 $L^p$ 收缩，再用Minkowski 积分不等式公理库Minkowski 不等式Minkowski inequality$L^p$ 范数满足三角不等式。控制时间叠加。在前述有限 $p$ 的积分解条件下，或对有界经典解取 $p=\mathrm{\infty }$，两组初值与源项 $(f,F)$、$(g,G)$ 的解满足

这份误差预算将初值误差和累计注入误差分开。它不承诺误差随时间指数增长，也不要求把源项冻结在某个时刻。

有边界时必须换整套演化算子 ​

在有限区域中，若 $S_D(t)$ 是零 Dirichlet 热演化，那么同一公式

自然保持零边界。把自由空间 $S(t)$ 直接代入，一般不能满足墙上的条件。非零且随时间变化的边界数据，则可先选一个满足边界的光滑延拓，减去它，把其时间导数和 Laplacian 合并到新源项中，再用零边界演化。

线性常微分方程组公理库线性常微分方程组Linear system of ordinary differential equations形如 x′=A(t)x+b(t) 的向量值一阶线性方程组。的常数变易公式是同一个叠加思想的有限维版本。PDE 中演化的状态是一整个函数，Laplacian 通常是无界算子；这就是为什么写出积分公式后，还要区分 mild 解与具有经典导数的解。