抛物最大值原理

一处新出现的最高温度，空间上不低于周围，所以 Laplacian 不大于零；如果这是此前从未出现过的更高温度，时间上又必须在增加。两者组合会迫使 $u_t-\mathrm{\Delta }u$ 为正，与没有正热源的不等式冲突。

终时面是已经演化到的结果，不是另加的数据入口。它当然可能包含一个全局最大点，但原理说同样高的值已经在初始面或侧边界出现；不能靠另给终时值来替代缺少的初始条件。

有热源时，加入一条随时间上升的比较线 ​

设 $|F(x,t)|\le M$，$u_t-\mathrm{\Delta }u=F$，而初始面及侧边界都满足 $|u|\le A$。令 $v=u-Mt$，则

在抛物边界上 $v\le A$，所以 $u\le A+Mt$。对 $-u$ 重复，得到

在区间 $(0,\pi )$ 上取 $F(x,t)=\sin x$，初始和两端边界均为零。显式解是 $u(x,t)=(1-e^{-t})\sin x$，实际最高温度为 $1-e^{-t}$，确实不超过本页给出的 $t$。例如 $t=1$ 时，精确最高温度约为 $0.6321$，而不依赖源项空间形状的统一上界为一。

反应项会创造新的峰值 ​

在区间 $(0,\pi )$ 上，函数 $u(t,x)=e^t\sin x$ 满足

它在两侧边界为零，初始面上最大值为一，却在终时内部点 $x=\pi /2$ 取到 $e^T>1$，确实超过了全部抛物边界数据。本页定理不能用于它，因为 $u_t-u_{xx}=2u>0$。对带正增长反应的方程，常需令 $v=e^{-ct}u$ 消去或控制反应项，再讨论最大值原理。

整空间也不能直接把“侧边界为空”当成证明完成；空间无穷远仍可能输入无法控制的增长。热核公理库热核Heat kernel · Gaussian heat kernel整空间单位热量的 Gaussian 演化核，通过卷积构造热方程解，并把时间相加转为核的卷积半群。页在有界解类中用二次屏障补上这一步。

严格时间扰动的证明 ​

给定 $\epsilon >0$，令 $v=u-\epsilon t$，则

由连续性和有界闭时空柱的紧性，极值定理公理库极值定理Extreme value theorem连续实值函数在非空紧空间上取得最大值和最小值。保证 $v$ 取到最大值。假设最大点 $(x_0,t_0)$ 不在抛物边界，则 $x_0\in \mathrm{\Omega }$、$t_0>0$。

固定这个时刻，空间极大值给 $\mathrm{\Delta }v(x_0,t_0)\le 0$。若 $t_0<T$，时间导数为零；若 $t_0=T$，从左侧差商得 $v_t(x_0,T)\ge 0$。两种情形都给

与严格不等式矛盾。因此 $v$ 的最大值在抛物边界，得到

让 $\epsilon \downarrow 0$ 完成证明。注意终时面上的时间导数不必等于零；只需要左导数非负，这正是把终时面纳入结论而不当作输入边界的关键。

比较、正性与唯一性 ​

若 $u_t-\mathrm{\Delta }u\le v_t-\mathrm{\Delta }v$，且 $u\le v$ 于抛物边界，对差 $u-v$ 使用原理便得整个时空柱上 $u\le v$。同一方程、同一初边值的两个经典解互相比较，因此相等。

若源项非负、初边值非负，对 $-u$ 使用原理可得解非负。若两组数据的初边值误差至多 $\eta$、源项误差至多 $M$，则比较 $u-v$ 与 $\eta +Mt$，得到

这是一份可用于核验显式解和近似模型的连续误差保证。离散格式是否也保持类似上界，是另一项需要检查的性质：显式热方程差分公理库偏微分方程有限差分法Finite-difference method for PDE · Finite-difference PDE discretization · Difference stencil由 Taylor 展开构造 PDE 差分模板，完整处理编号与边界，并用小系统、离散能量和制造解检验计算。通常依赖更新权重非负及相应步长条件，不能只因连续方程有最大值原理就自动继承。

椭圆最大值原理公理库椭圆最大值原理Elliptic maximum principle · Maximum principle for harmonic functions有界区域内的次调和函数由边界上界控制；若在连通内部达到全局最大值，平均不等式迫使它恒定。只处理空间平衡；本页的证明还利用了时间方向。两者共享“不能产生新的内部上界”的思想，但数据所在的边界和导数符号逻辑不同。