调和函数的 Harnack 不等式

非负性让一个大球内的总量能够控制任意较小子球内的总量，因为没有负值抵消。平均值性质又把这些总量转回球心值。两个中心稍微错开的球因此可以互相比较。

沿着一串重叠球重复这个过程，就把一个位置的规模传到另一个位置。越接近边界，能容纳的球越小，所需链条可能越长；这解释了为何常数通常不能一直保持到边界。

圆盘中的更精确比较 ​

对单位圆盘中的非负调和函数，在半径 $r<1$ 处，可以由Poisson 核公理库圆盘 Poisson 核Poisson kernel on the disk · Poisson integral formula on the disk用非负边界权重构造单位圆盘调和延拓的核，其频率权重按半径的幂次衰减。得到

先在稍大的内圆上表示 $u$，比较 Poisson 核的最小值和最大值，最后让那个内圆半径趋向一。这样不需要预先假设 $u$ 连续到原来的单位圆边界。

$r=1/2$ 时，中心值一保证该圆上 $u$ 处于 $[1/3,3]$。取

它是 $\mathrm{Re}[(1+z)/(1-z)]$，在单位圆盘内正且调和，$u(0)=1$；沿正实轴恰有 $u(r,0)=(1+r)/(1-r)$。上界因此展示了真实可能出现的增长，而非纯粹的证明松弛。

符号和边界都不能忽略 ​

$u(x,y)=x$ 调和，却在跨越零的球内同时取正负值，不能用“最大值至多常数乘最小值”作比较。给它加上足够大的常数使其非负，才进入本定理的条件。

上面的正函数在 $r\uparrow 1$ 时趋于无穷。若把比较区域一路推到它的奇异边界点，就不可能保持一个统一有限常数。Harnack 控制的是内部比例，并不保证边界值有界。

两个球的包含关系给出局部界 ​

取任意 $y,z\in B(a,R)$。由平均值性质与非负性，

因为 $B(y,R)\subset B(a,2R)$。

另一方面，$B(a,2R)\subset B(z,3R)\subset B(a,4R)$，所以

两式相除或直接合并，得到 $u(y)\le 3^{d}u(z)$。即使某个 $u(z)=0$ 也不必除以零：合并的不等式直接迫使整个小球上的 $u$ 为零。

从局部球走到紧集 ​

在连通开集内，两点可由完全留在区域内部的折线路径连接。固定起点，可用有限折线到达的点集相对开，其补集也相对开：每个点都有内含小球，球中的直线段可延长已有路径。可达集非空，连通性于是迫使它等于整个区域。路径像是紧的，与边界有正距离；用足够小的球沿路径覆盖，就得到有限个重叠球，每一步都能应用上一节的比较。

对整个紧集，可先用有限个这样的内球覆盖，再为其有限个中心选连接路径。所有这些球和路径合在一起仍是区域内部的紧集，因而只需要有限次比较，形成一个共同常数。不能仅用“每一对点都有某个常数”就跳到“所有点共用同一个常数”；有限覆盖正是补上的统一性。

一个直接推论是：连通区域内的非负调和函数若在某个内部点为零，就恒为零。另一个推论处理单调函数列：若 $u_n$ 是递增的非负调和函数，且在一个内部点有界，则该点的数值有有限极限。对 $m>n$ 的非负调和差 $u_m-u_n$ 使用包含该点的紧集上的 Harnack 界，就把一点的 Cauchy 性传成紧集上一致 Cauchy 性。极限仍有平均值性质，因而仍调和。一点有界排除了整列在内部一起趋向无穷的另一种可能。

这与一般光滑函数列截然不同。普通光滑性不允许从一个点的数值控制整个内部区域；真正起作用的是正性、平均规律和区域连通几何的组合。