椭圆内部正则性

方程把二阶导数的某个组合与已知右端联系起来。对 Laplace 算子，频域中的组合是 $4{\pi }^2|\xi {|}^2$，能同时控制各方向的二阶导数。困难在于局部弱解没有定义在整个空间，不能直接作全局 Fourier 变换。

光滑截断把这个局部问题变成一个整空间问题，但乘积求导会生成含 $u$ 和 $\mathrm{\nabla }u$ 的误差。先用方程自己的能量恒等式控制一阶导数，再调用整空间逆乘子，就能让这些误差保持平方可积。截断越靠近边界，导数可能越大；这解释了估计为何依赖内部区域的间隔，也解释了为什么不能把常数原样推到一个凹角上。

一个可直接检查的内部估计对象 ​

取 $u(x)=|x{|}^2$，则 $\mathrm{\nabla }u=2x$、$D^{2}u=2I$，并且 $-\mathrm{\Delta }u=-2d$。它在每个有界内部区域上属于 $H^2$，但在整空间不属于 $L^2$。本页定理可以逐个内部区域使用；它没有要求这个局部解具有全局可积性。

若在球 $B(0,R)$ 上把所有 Hessian 矩阵分量的平方相加，则

二阶导数确实受到一个有限的局部估计控制。这里为方便核算使用完整 Hessian 矩阵；普通 $H^2$ 范数只按多重指标计数，非对角混合导数的计数略有不同，两者等价。

凹角怎样破坏全局二阶正则性 ​

在二维取开扇形

函数 $h(r,\theta )=r^{\alpha }\sin \left(\alpha \theta \right)$ 在 $\mathrm{\Omega }$ 内调和，在两条径向边上为零。极坐标 Laplace 公式直接验证

梯度大小为 $|\mathrm{\nabla }h|=\alpha r^{\alpha -1}$，所以靠近顶点的梯度平方积分有限；例如对 $0<R<1$，

但逐项求导可得

其面积积分含 ${\int }_0^R{r}^{-5/3}dr$，因而发散。它在每个远离顶点的内部区域光滑，却不在整个扇形的 $H^2$ 中。

还可使这个反例满足全边界零条件。取光滑径向函数 $\chi$，在 $r\le 1/3$ 时等于 $1$、在 $r\ge 2/3$ 时等于 $0$，令 $u=\chi h$。则 $u\in H_0^1(\mathrm{\Omega })$，并有

$f$ 支撑于远离顶点的环带，故属于 $L^2(\mathrm{\Omega })$；而 $u=h$ 在顶点附近成立，仍不属于 $H^2(\mathrm{\Omega })$。

这里的零边界资格也可以从闭包验证：先在 $r<\delta$ 附近截去顶点，新增梯度项的平方积分为 $O({\delta }^{2\alpha })$，原有梯度在小扇形中的积分也趋于零。留下的函数光滑、远离顶点，并在直边上为零；再沿直边截断，函数的线性消失抵消截断导数，得到紧支撑光滑逼近。于是 $u$ 的确是能量空间中的零边界弱解。原方程先对紧支撑测试函数成立，再由 $H_0^1$ 密度扩展。失败发生在凹角处的全局二阶可积性，没有违反内部定理。

先用能量估计控制一阶导数 ​

取实值 $\zeta \in C_c^{\mathrm{\infty }}(V)$，$0\le \zeta \le 1$。${\zeta }^{2}u$ 属于 $H_0^1(V)$；用局部光滑逼近可以把弱方程的测试范围扩展到它。展开得到

右端只在 $V$ 内积分。Cauchy–Schwarz 与 $2ab\le \frac{1}{2}{a}^2+2b^2$ 给出

另外，由 Hölder 不等式公理库Hölder 不等式Hölder's inequality共轭指数下函数乘积的 L¹ 范数由各自的 Lᵖ 范数乘积控制。，

吸收左侧的一半，得到

因此，只要 $\zeta =1$ 于某个较小区域，该区域的梯度便受到 $f$ 与 $u$ 的外层 $L^2$ 范数控制。这种局部能量估计通常称为 Caccioppoli 估计；上式保留了本页实际需要的版本。

截断后逐项检查右端 ​

选择 $U⋐W⋐V$，并取 $\eta \in C_c^{\mathrm{\infty }}(W)$、$\eta =1$ 于 $U$ 的邻域。将 $v=\eta u$ 零延拓至 ${\mathbb{R}}^d$，它属于 $H^1({\mathbb{R}}^d)$。因为截断支撑离边界有正距离，乘积公式可以在弱导数意义下使用，不产生边界分布。

直接展开，

每一项都在 $L^2({\mathbb{R}}^d)$ 中。再选择 $\zeta \in C_c^{\mathrm{\infty }}(V)$，使它在 $\bar{W}$ 的邻域等于 $1$，上一节便给出

估计中的常数包括所选截断函数的至多二阶导数界。我们只要求对固定内部区域存在这样的常数，没有声称它在 $U$ 接近 $\partial V$ 时仍一致。

逆乘子完成二阶提升 ​

Fourier 乘子公理库Fourier 乘子与平方可积估计Fourier multiplier · L2 Fourier multiplier把频域逐点乘法搬回函数空间，证明L2乘子范数恰为符号的本质上确界，并用一个有界逆乘子构造二阶弱解。已经证明，对任意 $g\in L^2({\mathbb{R}}^d)$，

是 $(1-\mathrm{\Delta })w=g$ 的唯一 $H^1$ 弱解，且 $w\in H^2$，满足 $\Vert w{\Vert }_{H^2}\le C_d\Vert g{\Vert }_2$。上节构造的 $v$ 也是同一方程的 $H^1$ 弱解，因此 $v=w$。

唯一性可以在当前接口再核对一次：差 $z=v-w$ 满足齐次弱方程，以 $z$ 本身作测试得到 $\Vert z{\Vert }_2^2+\Vert \mathrm{\nabla }z{\Vert }_2^2=0$，故差为零。于是 $v\in H^2$；由于 $v=u$ 在 $U$ 上成立，限制回去便得到

对任意内部 $U$ 使用这一结论，就完成了 $H_{\mathrm{loc}}^2$ 的证明。顺序很关键：先用已有的一阶正则性使截断右端合法，再由逆算子取得二阶正则性，没有在乘积展开时预设结论。

连续正则性给后续分析提供什么 ​

弱解的存在与弱解的正则性回答不同问题。变分形式公理库变分形式与弱问题Variational formulation · Weak formulation通过检验函数与分部积分把强微分方程改写为低正则性空间中的连续弱问题，并明确边界条件与适定性。先在能量空间求解线性边值问题；本页进一步证明，对 Laplace 算子和局部平方可积右端，所得弱解在内部具有二阶弱导数。直接法公理库变分法的直接法Direct method in the calculus of variations从有界极小化序列、弱极限和下半连续性证明极小点存在，以一维点值与三维紧嵌入分别完成四次势能的唯一弱解及精确算例。中的三维方程 $-\mathrm{\Delta }u+u^3=f$ 也可接入：$H_0^1\hookrightarrow L^6$ 保证 $u^3\in L^2$，故把 $f-u^3$ 当作右端，就得到 $u\in H_{\mathrm{loc}}^2$。

有限元方法公理库有限元方法Finite element method · FEM · Finite element assembly从弱形式与帽函数出发，完整构造局部单元、组装并求解小系统，再用能量与逼近解释误差阶和边界处理。的误差估计若需要整个区域的 $H^2$ 范数，必须另核对边界几何和边界数据。凹角例子表明，仅有内部估计与 $L^2$ 右端不足以支持这种全局代入。变系数的一致椭圆方程还需控制系数的正则性；本页证明的是常系数 Laplace 情形，不能直接把同一 Fourier 符号用于任意变系数。