圆盘 Poisson 核

站在圆心时，所有方向等权：$P_0=1$，所以 $u(0)$ 是边界平均。向某个边界点移动，那个方向附近的权重升高，其余方向的权重下降；内部温度始终是整个边界的一次非负加权平均。

从Fourier 展开公理库Fourier 级数Fourier series · 傅里叶级数把周期函数投影到整数频率的正交指数基上所得的离散频谱展开。看，第 $k$ 个角向频率进入半径 $r$ 后乘以 $r^{|k|}$。高频的边界细节向内衰减更快。沿径向趋近边界时 $r\uparrow 1$，这种衰减逐渐解除，边界数据被恢复。

这个核与概率论的 Poisson 分布同名，却不是离散计数概率。这里的变量是角度，积分为一是在圆周测度下说的。

三个边界模态，一次精确延拓 ​

取

每个频率乘上相应半径幂，得到

写回直角坐标，$r\cos \theta =x$、$r^2\sin 2\theta =2xy$，所以

两次偏导均为零，故 $\mathrm{\Delta }u=0$；令 $(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )$ 又恢复边界值。在 $(0,1/2)$ 处 $u=1$，在 $(1/2,1/2)$ 处 $u=3/2$。这是一份可同时核对方程、边界和内点读数的解。

权重如何集中 ​

选定面向角度零的点。核在最近和最远方向的值为

$r=1/2$ 时分别为 $3$ 与 $1/3$；$r=4/5$ 时为 $9$ 与 $1/9$。峰值增大并不增加总质量，而是把原有质量压向更窄角区。

若边界函数在零处跳跃，不能要求积分在该点恢复一个任意指定的值。对有左右极限的有界数据，偶核给出的径向极限是两侧平均。一般 $L^p$ 边界数据的几乎处处径向极限还有更强的边界定理支撑，不能只由 $L^p$ 收敛自动推出全体半径的逐点收敛。

从几何级数得到核 ​

由于 $r<1$，正负频率的级数都绝对收敛。相加得到

每个非零频率的积分为零，常数系数为一，故 $\int P_{r}dm=1$。分母为 $|1-r{e}^{it}{|}^2>0$，所以核非负。

若 $\delta \le |t|\le \pi$，分母在 $r\uparrow 1$ 时与零保持正距离，而分子趋零。因此这些角区的质量趋零，$P_r$ 构成近似恒等核公理库近似恒等核Approximate identity · Approximation to the identity总质量固定、绝对质量向原点集中且没有放大失控的卷积核族，使局部平均在有限 Lp 范数中恢复输入。。连续边界的一致恢复与有限 $L^p$ 恢复便由其逼近定理给出。

内部为何满足 Laplace 方程 ​

对连续边界，先用Fourier 级数公理库Fourier 级数Fourier series · 傅里叶级数把周期函数投影到整数频率的正交指数基上所得的离散频谱展开。的系数约定。更一般的 $L^1$ 边界也可用同一积分定义系数；下述论证不要求其普通 Fourier 部分和收敛。系数满足 $|\hat{f}(k)|\le \Vert f{\Vert }_{L^1(dm)}$。在任意较小闭圆盘 $r\le r_0<1$ 中，$r^{|k|}$ 的几何衰减压过求导产生的任意有限次 $|k|$ 因子，因此可以逐项求导。

对 $k\ge 1$，$r^k{e}^{ik\theta }=z^k$，而 $r^k{e}^{-ik\theta }={\overline{z}}^k$；它们的实部与虚部都调和。于是

在内部调和。这项论证同时给出内部任意阶光滑性，没有把粗糙边界数据误当成光滑数据。

唯一性来自最大值原理公理库椭圆最大值原理Elliptic maximum principle · Maximum principle for harmonic functions有界区域内的次调和函数由边界上界控制；若在连通内部达到全局最大值，平均不等式迫使它恒定。：两个连续到边界的调和解之差在边界为零，差及其相反数都不可能在内部超过零。因此差恒为零。

核的正性还给稳定性。两份边界数据 $f,g$ 的解满足

这说明一个明确的边界误差预算如何传到整个圆盘。它属于连续边值问题的性质，与离散网格采用哪种求解器是不同层次。